來(lái)源：賽先生
2020年2月28日，英國(guó)旅美物理學(xué)家、普林斯頓高等研究院教授弗里曼·戴森不幸去世，享年96歲。戴森在物理學(xué)造詣深厚，是我國(guó)物理學(xué)家楊振寧先生的同事和朋友，曾稱(chēng)楊先生為“保守的革命家”。他知識(shí)豐富，思考深邃，對(duì)物理學(xué)之外也多有評(píng)論，例如他曾經(jīng)稱(chēng)“生物學(xué)是21世紀(jì)的科學(xué)”。
《鳥(niǎo)和青蛙》（Birds and Frogs）是戴森應(yīng)邀為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)愛(ài)因斯坦講座所起草的一篇演講稿，該演講計(jì)劃于2008年10月舉行，但因故被取消。這篇文章全文發(fā)表于2009年2月出版的《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)志》（NOTICES OF THE AMS， VOLUME56， Number 2）。’
有些數(shù)學(xué)家是鳥(niǎo)，其他的則是青蛙。鳥(niǎo)翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠(yuǎn)地平線(xiàn)的廣袤的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)景。他們喜歡那些統(tǒng)一我們思想、并將不同領(lǐng)域的諸多問(wèn)題整合起來(lái)的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周?chē)L(zhǎng)的花兒。他們樂(lè)于探索特定問(wèn)題的細(xì)節(jié)，一次只解決一個(gè)問(wèn)題。我碰巧是一只青蛙，但我的許多最好朋友都是鳥(niǎo)。
這就是我今晚演講的主題。數(shù)學(xué)既需要鳥(niǎo)也需要青蛙。數(shù)學(xué)豐富又美麗，因?yàn)轼B(niǎo)賦予它遼闊壯觀的遠(yuǎn)景，青蛙則澄清了它錯(cuò)綜復(fù)雜的細(xì)節(jié)。數(shù)學(xué)既是偉大的藝術(shù)，也是重要的科學(xué)，因?yàn)樗鼘⑵毡榈母拍钆c深邃的結(jié)構(gòu)融合在一起。如果聲稱(chēng)鳥(niǎo)比青蛙更好，因?yàn)樗鼈兛吹酶b遠(yuǎn)，或者青蛙比鳥(niǎo)更好，因?yàn)樗鼈兏由羁?，那么這些都是愚蠢的見(jiàn)解。數(shù)學(xué)的世界既遼闊又深刻，我們需要鳥(niǎo)們和青蛙們協(xié)同努力來(lái)探索。
這個(gè)演講被稱(chēng)為愛(ài)因斯坦講座，應(yīng)美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)之邀來(lái)這里演講以紀(jì)念阿爾伯特?愛(ài)因斯坦，我深感榮幸。愛(ài)因斯坦不是一位數(shù)學(xué)家，而是一位融合了數(shù)學(xué)感覺(jué)的物理學(xué)家。一方面，他對(duì)數(shù)學(xué)描述自然界運(yùn)作的力量極為尊重，他對(duì)數(shù)學(xué)之美有一種直覺(jué)，引導(dǎo)他進(jìn)入發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律的正確軌道；另一方面，他對(duì)純數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣，他缺乏數(shù)學(xué)家的技能。晚年時(shí)，他聘請(qǐng)一位年輕同事以助手身份幫助他做數(shù)學(xué)計(jì)算。他的思考方式是物理而非數(shù)學(xué)。他是物理學(xué)界的至高者，是一只比其他鳥(niǎo)瞭望得更遠(yuǎn)的鳥(niǎo)。但今晚我不準(zhǔn)備談愛(ài)因斯坦，因?yàn)榉ι瓶申悺?/p>
弗蘭西斯·培根和勒奈·笛卡爾
17世紀(jì)初，兩位偉大的哲學(xué)家，英國(guó)的弗蘭西斯·培根（Francis Bacon）和法國(guó)的勒奈·笛卡爾（Rene Descartes），正式宣告了現(xiàn)代科學(xué)的誕生。笛卡爾是一只鳥(niǎo)，培根是一只青蛙。
培根（左）、笛卡爾（右）
兩人分別描述了對(duì)未來(lái)的遠(yuǎn)景，但觀點(diǎn)大相徑庭。培根說(shuō)：“一切均基于眼睛所見(jiàn)自然之確鑿事實(shí)?！钡芽栒f(shuō)：“我思，故我在。”
按照培根的觀點(diǎn)，科學(xué)家需要周游地球收集事實(shí)，直到所積累的事實(shí)能揭示出自然的運(yùn)動(dòng)方式。科學(xué)家們從這些事實(shí)中推導(dǎo)出自然運(yùn)作所遵循的法則。根據(jù)笛卡爾的觀點(diǎn)，科學(xué)家只需要呆在家里，通過(guò)純粹的思考推導(dǎo)出自然規(guī)律。為了推導(dǎo)出正確的自然規(guī)律，科學(xué)家們只需要邏輯規(guī)則和上帝存在的知識(shí)。
在開(kāi)路先鋒培根和笛卡爾的領(lǐng)導(dǎo)之下，400多年來(lái)，科學(xué)同時(shí)沿著這兩條途徑全速前進(jìn)。然而，解開(kāi)自然奧秘的力量既不是培根的經(jīng)驗(yàn)主義，也不是笛卡爾的教條主義，而是二者成功合作的神奇之作。400多年來(lái)，英國(guó)科學(xué)家傾向于培根哲學(xué)，法國(guó)科學(xué)家傾向于笛卡爾哲學(xué)。法拉弟、達(dá)爾文和盧瑟福是培根學(xué)派；帕斯卡、拉普拉斯和龐加萊是笛卡爾學(xué)派。因?yàn)檫@兩種對(duì)比鮮明的文化的交叉滲透，科學(xué)被極大地豐富了。這兩種文化一直在這兩個(gè)國(guó)家發(fā)揮作用。牛頓在本質(zhì)上是笛卡爾學(xué)派，他用了笛卡爾主義的純粹思考，并用這種思考推翻了渦流的笛卡爾教條。瑪麗·居里在本質(zhì)上是一位培根學(xué)派，她熬沸了幾噸的瀝青鈾礦渣，推翻了原子不可毀性之教條。
在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)歷史中，有兩起決定性事件，一個(gè)屬于培根學(xué)派傳統(tǒng)，另一個(gè)屬于笛卡爾學(xué)派傳統(tǒng)。第一起事件發(fā)生于1900年在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特（Hilbert）作大會(huì)主題演講，提出了23個(gè)未解決的著名問(wèn)題，繪制了即將來(lái)臨的一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)航道。希爾伯特本身是一只鳥(niǎo)，高高飛翔在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)地的上空，但他聲稱(chēng)，他的問(wèn)題是給在同一時(shí)間只解決一個(gè)問(wèn)題的青蛙們。第二起決定性事件發(fā)生在20世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)之鳥(niǎo)——布爾巴基學(xué)派（Bourbaki）在法國(guó)成立，他們致力于出版一系列能將全部數(shù)學(xué)框架統(tǒng)一起來(lái)的教科書(shū)。
在引導(dǎo)數(shù)學(xué)研究步入碩果累累的方向上，希爾伯特問(wèn)題取得了巨大成功。部分問(wèn)題被解決了，部分問(wèn)題仍懸而未決，但所有這些問(wèn)題都刺激了數(shù)學(xué)新思想和新領(lǐng)域的成長(zhǎng)。布爾巴基綱領(lǐng)有同等影響，通過(guò)帶入以前并不存在的邏輯連貫性、推動(dòng)從具體實(shí)例到抽象共性的發(fā)展，這個(gè)項(xiàng)目改變了下一個(gè)50年的數(shù)學(xué)風(fēng)格。在布爾巴基學(xué)派的格局中，數(shù)學(xué)是包含在布爾巴基教科書(shū)中的抽象結(jié)構(gòu)。教科書(shū)之外均不是數(shù)學(xué)。自從在教科書(shū)中消失后，具體實(shí)例就不再是數(shù)學(xué)。布爾巴基綱領(lǐng)是笛卡爾風(fēng)格的極端表現(xiàn)。通過(guò)排除培根學(xué)派旅行者們?cè)诼放钥赡懿杉降孽r花，他們縮小了數(shù)學(xué)的規(guī)模。
自然的玩笑
我是一個(gè)培根學(xué)派的信徒。對(duì)我而言，布爾巴基綱領(lǐng)的一個(gè)主要不足是錯(cuò)失了一種驚喜元素。布爾巴基綱領(lǐng)努力讓數(shù)學(xué)更有邏輯。當(dāng)我回顧數(shù)學(xué)的歷史時(shí)，我看見(jiàn)不斷有非邏輯的跳躍、難以置信的巧合和自然的玩笑。大自然所開(kāi)的最深刻玩笑之一是負(fù)1的平方根，1926年，物理學(xué)家埃爾文·薛定諤（Erwin Schrodinger）在發(fā)明波動(dòng)力學(xué)時(shí)，將這個(gè)數(shù)放入他的波動(dòng)方程。
埃爾文·薛定諤
當(dāng)薛定諤開(kāi)始思考如何將光學(xué)和力學(xué)統(tǒng)一時(shí)，他就是一只鳥(niǎo)。早在100多年前，借助于描述光學(xué)射線(xiàn)和經(jīng)典粒子軌跡的相同數(shù)學(xué)，漢密爾頓統(tǒng)一了射線(xiàn)光學(xué)和經(jīng)典力學(xué)。薛定諤也希望用同樣的方式來(lái)統(tǒng)一波動(dòng)光學(xué)和波動(dòng)力學(xué)。當(dāng)時(shí)，波動(dòng)光學(xué)已經(jīng)存在，但波動(dòng)力學(xué)尚未出現(xiàn)。薛定諤不得不發(fā)明波動(dòng)力學(xué)來(lái)完成這一統(tǒng)一。開(kāi)始時(shí)，他將波動(dòng)光學(xué)作為一個(gè)模型，寫(xiě)下機(jī)械粒子的微分方程，但這個(gè)方程沒(méi)有任何意義。這個(gè)方程看起來(lái)像連續(xù)介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)與粒子力學(xué)之間沒(méi)有可見(jiàn)的相關(guān)性。薛定諤的想法看起來(lái)沒(méi)有任何意義。然而，奇跡出現(xiàn)了。薛定諤將負(fù)1的平方根放入機(jī)械粒子的微分方程，突然間，它就有意義了。突然間，它成為波動(dòng)方程而不是熱傳導(dǎo)方程。薛定諤高興地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程的解與玻爾原子模型中的量化軌道相吻合。
結(jié)果，薛定諤方程準(zhǔn)確描述了我們今天所知原子的每一種行為。這是整個(gè)化學(xué)和絕大部分物理學(xué)的基礎(chǔ)。負(fù)1的平方根意味著大自然是以復(fù)數(shù)而不是實(shí)數(shù)的方式運(yùn)行。這一發(fā)現(xiàn)讓薛定諤和其他所有人耳目一新。薛定諤記得，當(dāng)時(shí)，他14歲大的“女朋友”伊薩·榮格爾（Itha Junger）曾對(duì)他說(shuō)：“嗨，開(kāi)始時(shí)，你從來(lái)沒(méi)想過(guò)會(huì)出現(xiàn)這么多有意義的結(jié)果吧？”
在整個(gè)19世紀(jì)，從阿貝爾（Abel）、黎曼（Riemann）到維爾斯特拉斯（Weierstrass），數(shù)學(xué)家們一直在創(chuàng)建一個(gè)宏大的復(fù)變函數(shù)理論。他們發(fā)現(xiàn)，一旦從實(shí)數(shù)推進(jìn)到復(fù)數(shù)，函數(shù)論就變得更深刻更強(qiáng)大。但是，他們一直將復(fù)數(shù)看作是人造結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)家們從真實(shí)生活中發(fā)明的一種有用、優(yōu)雅的抽象概念。他們未曾料到，他們發(fā)明的這個(gè)人工數(shù)字事實(shí)上是原子運(yùn)行的基礎(chǔ)。他們從未想象過(guò)，這個(gè)數(shù)字最初是出現(xiàn)在自然界。
大自然所開(kāi)的第二個(gè)玩笑是量子力學(xué)的精確線(xiàn)性。事實(shí)上，物理對(duì)象的各種可能狀態(tài)構(gòu)成了一個(gè)線(xiàn)性空間。在量子力學(xué)被發(fā)明之前，經(jīng)典物理總是非線(xiàn)性的，線(xiàn)性模式只是近似有效。在量子力學(xué)之后，大自然本身突然變成了線(xiàn)性。這對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻的影響。19世紀(jì)，索菲斯·李（Sophus Lie）發(fā)展了他關(guān)于連續(xù)群的精致理論（elaborate theory），以期弄清楚經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的行為。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家對(duì)李群幾乎沒(méi)有任何興趣。李群的非線(xiàn)性理論對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)過(guò)于復(fù)雜，對(duì)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)又過(guò)于晦澀。索菲斯?李在失望中離開(kāi)了人世。50年后，人們發(fā)現(xiàn)大自然本身就是線(xiàn)性的，李代數(shù)的線(xiàn)性表示竟然是粒子物理的自然語(yǔ)言。作為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的中心主題之一，李群和李代數(shù)獲得了新生。
索菲斯·李
大自然的第三個(gè)玩笑是擬晶體（Quasi-crystals）的存在。19世紀(jì)，對(duì)晶體的研究導(dǎo)致了對(duì)歐幾里德空間中可能存在的離散對(duì)稱(chēng)群種類(lèi)的完整列舉。人們已經(jīng)證明：在三維歐幾里德空間中，所有離散對(duì)稱(chēng)群僅包含3級(jí)、4級(jí)或6級(jí)的旋轉(zhuǎn)。之后，1984年，擬晶體被發(fā)現(xiàn)了，從液體金屬陣列中長(zhǎng)出的真正固體物顯示了包含5重旋轉(zhuǎn)的二十面體的對(duì)稱(chēng)性。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）發(fā)現(xiàn)了平面“彭羅斯拼磚法”。擬晶陣列是二維彭羅斯拼磚法的三維模擬。在這些發(fā)現(xiàn)之后，數(shù)學(xué)家不得不擴(kuò)大晶體群理論，將合金擬晶體包含其中。這是還在發(fā)展中的一個(gè)重要研究項(xiàng)目。
彭羅斯拼磚
大自然開(kāi)的第四個(gè)玩笑是擬晶和黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)（zeros of the Riemann Zeta function）在行為的相似性。黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)令數(shù)學(xué)家們著迷，因?yàn)樗械牧泓c(diǎn)都落在一條直線(xiàn)上，沒(méi)有人知道這是為什么。著名的黎曼猜想是指：除了平凡的例外，黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)都在一條直線(xiàn)上。100多年來(lái)，證明黎曼猜想一直是年輕數(shù)學(xué)家們的夢(mèng)想。我現(xiàn)在大膽提議：也許可以用擬晶體來(lái)證明黎曼猜想。你們中的部分?jǐn)?shù)學(xué)家也許認(rèn)為這個(gè)建議無(wú)關(guān)緊要。那些不是數(shù)學(xué)家的人可能對(duì)這個(gè)建議不感興趣。然而，我將這個(gè)問(wèn)題放到你們面前，希望你們嚴(yán)肅思考。年輕時(shí)的物理學(xué)家里奧·齊拉特（Leo Szilard）不滿(mǎn)意摩西的十條誡命，寫(xiě)了新十誡來(lái)替換它們。齊拉特的第二條誡律說(shuō)：“行動(dòng)起來(lái)，向有價(jià)值的目標(biāo)前進(jìn)，不問(wèn)這些目標(biāo)是否能達(dá)到：行動(dòng)是模范和例子，而不是終結(jié)。” 齊拉特踐行了他的理論。他是第一個(gè)想象出核武器的物理學(xué)家，也是第一個(gè)積極以行動(dòng)反對(duì)核武器使用的物理學(xué)家。他的第二條誡律也適用于這里。黎曼猜想的證明是一個(gè)值得為之的目標(biāo)，我們不應(yīng)該問(wèn)這個(gè)目標(biāo)是否能實(shí)現(xiàn)。我將給你們一些這個(gè)目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)的暗示。我將給數(shù)學(xué)家們一些建議，這是我在50年前成為一名物理學(xué)家之前獲得的忠告。我先談黎曼猜想，再談擬晶體。
黎曼
直到最近，純數(shù)學(xué)領(lǐng)域還有兩個(gè)未解決的超級(jí)問(wèn)題：費(fèi)馬大定理的證明和黎曼猜想的證明。12年前，我在普林斯頓的同事安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明了費(fèi)馬大定理，如今，只剩下黎曼猜想有待證明。懷爾斯對(duì)費(fèi)馬大定理的證明不只是一個(gè)技術(shù)絕技，它的證明還需要發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)思想的新領(lǐng)域，這比費(fèi)馬大定理本身更遼闊更重要。
安德魯·懷爾斯
正因如此，對(duì)黎曼猜想的證明也將導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)甚至物理學(xué)諸多不同領(lǐng)域的深刻認(rèn)識(shí)。黎曼ζ函數(shù)和其他ζ函數(shù)也類(lèi)似，它們?cè)跀?shù)論、動(dòng)力系統(tǒng)、幾何學(xué)、函數(shù)論和物理學(xué)中普遍存在。ζ函數(shù)仿佛是通向各方路徑的交叉結(jié)合點(diǎn)。對(duì)黎曼猜想的證明將闡明所有這些關(guān)聯(lián)。就像每一位純數(shù)學(xué)領(lǐng)域里嚴(yán)肅的學(xué)生一樣，我年輕時(shí)的夢(mèng)想是證明黎曼猜想。我有一些模糊不清的想法，認(rèn)為可以引導(dǎo)自己證明這個(gè)猜想。最近幾年，在擬晶體被發(fā)現(xiàn)后，我的想法不再模糊。我在這里把它們呈現(xiàn)給有雄心壯志贏得菲爾茨獎(jiǎng)的年輕數(shù)學(xué)家們。
擬晶體存在于一維、二維和三維空間。從物理學(xué)的角度看，三維擬晶體最為有趣，因?yàn)樗鼈儣⒂谖覀兊娜S世界，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以研究。從數(shù)學(xué)家的角度來(lái)看，一維擬晶體比二維和三維擬晶體更為有趣，因?yàn)樗鼈兎N類(lèi)繁多。數(shù)學(xué)家這樣定義擬晶體：一個(gè)擬晶體是離散點(diǎn)群的分布，它們的傅立葉變換是離散點(diǎn)頻率?；蚝?jiǎn)而言之，一個(gè)擬晶體是一個(gè)有純點(diǎn)譜的純點(diǎn)分布。這個(gè)定義包括了作為特例的普通晶體，它們是擁有周期譜的周期分布。
將普通晶體排除在外，三維中的擬晶體只有極為有限的變形，它們均與二十面體有關(guān)。二維擬晶體數(shù)目眾多，粗略地講，一個(gè)獨(dú)特的類(lèi)型與平面上每個(gè)正多邊形都相關(guān)聯(lián)。含五邊 形對(duì)稱(chēng)的二維擬晶體是著名的平面彭羅斯拼磚。最后，一維擬晶體有更為豐富的結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗鼈儾皇苤朴谌魏涡D(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。就我所知，目前還沒(méi)有對(duì)一維擬晶體存在情況的全數(shù)調(diào)查。現(xiàn)已知，一種獨(dú)特?cái)M晶體的存在與每個(gè)皮索特-維貢伊拉卡文數(shù)（pisot Vijayaraghavan number）或PV數(shù)對(duì)應(yīng)。一個(gè)PV數(shù)是一個(gè)真正的代數(shù)整數(shù)，是有整數(shù)系數(shù)（integer coefficients）多項(xiàng)式方程的根，其他所有根的絕對(duì)值都有小于1的絕對(duì)值。全部PV數(shù)的集合是無(wú)限的，并有非凡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所有一維擬晶體的集合都有一種結(jié)構(gòu)，其豐富程度可與所有的PV數(shù)集合相比，甚至更豐富。我們并不確切地知道，一個(gè)由與PV數(shù)沒(méi)有關(guān)聯(lián)的一維擬晶體構(gòu)成的大世界正等待探索。
現(xiàn)在談一維準(zhǔn)晶體與黎曼猜想的聯(lián)系。如果黎曼猜想是正確的，那么根據(jù)定義，ζ函數(shù)零點(diǎn)就會(huì)形成一個(gè)一維擬晶體。它們?cè)谝粭l直線(xiàn)上構(gòu)成了點(diǎn)質(zhì)量（point masses）的一個(gè)分布，它們的傅利葉變化同樣也是一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量分布，前者的點(diǎn)質(zhì)量位于每個(gè)素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)處，其傅里葉變換點(diǎn)質(zhì)量位于每個(gè)素?cái)?shù)的冪的對(duì)數(shù)處。我的朋友安德魯·奧德澤科（Andrew Odlyzko）發(fā)表了一個(gè)漂亮的ζ函數(shù)零點(diǎn)的傅利葉變換的計(jì)算機(jī)運(yùn)算。這個(gè)運(yùn)算精確地顯示了傅利葉變換的預(yù)期結(jié)構(gòu)，在每一個(gè)素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的冪的對(duì)數(shù)上有明顯的間斷性。
我的推測(cè)如下。假設(shè)我們并不知道黎曼猜想是否正確。我們從另一個(gè)角度來(lái)解決問(wèn)題。我們努力獲得一維擬晶體的一個(gè)全數(shù)調(diào)查和分類(lèi)。這就是說(shuō)，我們列舉和分類(lèi)擁有離散點(diǎn)譜的所有點(diǎn)分布。對(duì)新對(duì)象的收集和分類(lèi)是典型的培根歸納活動(dòng)。這也是適合于青蛙型數(shù)學(xué)家的活動(dòng)。然后，我們發(fā)現(xiàn)眾所周知的與PV數(shù)相關(guān)的擬晶體，以及其它已知或未知的擬晶體世界。在其它眾多的擬晶體中，我們尋找一個(gè)與黎曼ζ函數(shù)相對(duì)應(yīng)的擬晶體，尋找一個(gè)與其它類(lèi)似黎曼ζ函數(shù)的每個(gè)ζ函數(shù)相對(duì)應(yīng)的擬晶體。假設(shè)我們?cè)跀M晶體細(xì)目表中找到了一個(gè)擬晶體，其性質(zhì)等同于黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)。然后，我們證明了黎曼猜想，等待宣布菲爾茨獎(jiǎng)的電話(huà)。
這是一種妄想。對(duì)一維準(zhǔn)晶體進(jìn)行分類(lèi)極其困難，其困難程度不壓于安德魯·懷爾斯花7年時(shí)間所解決的問(wèn)題。但是，如果我們以培根主義者的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)的歷史就是駭人聽(tīng)聞的困難問(wèn)題被初生牛犢不怕虎的年輕人干掉的歷史。對(duì)擬晶體分類(lèi)是一個(gè)值得為之的目標(biāo)，甚至是可以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。這個(gè)問(wèn)題的困難程度不是像我這樣的老人能解決的，我將這個(gè)問(wèn)題作一個(gè)練習(xí)留給聽(tīng)眾中的年輕青蛙們。
艾布拉姆·貝塞克維奇和赫爾曼·外爾
現(xiàn)在，我介紹我所知道的幾位著名的鳥(niǎo)和青蛙。
1941年，我作為一名學(xué)生來(lái)到英國(guó)劍橋大學(xué)，極其幸運(yùn)地受教于俄羅斯數(shù)學(xué)家艾伯拉姆·薩莫羅維奇·貝塞克維奇（Abram Samoilovich Besicovitch）。時(shí)值第二次世界大戰(zhàn)，劍橋只有很少的學(xué)生，幾乎沒(méi)有研究生。盡管當(dāng)時(shí)我只有17歲，而貝塞克維奇已是一位著名教授，但是，他給了我相當(dāng)多的時(shí)間和關(guān)注，我們成為終身朋友。在我開(kāi)始從事和思考數(shù)學(xué)時(shí)，他塑造了我的性格。他在測(cè)量理論和積分方面上了許多精彩的課程，在我們因他大膽地濫用英語(yǔ)而哈哈大笑時(shí)，他只是親切地笑笑。我記得僅有一次，他被我們之間的玩笑惹怒。在沉默了一會(huì)后，他說(shuō)：“先生們，有5000萬(wàn)英國(guó)人講你們所講的英文。有1.5億俄羅斯人講我所講的英文?！?/p>
貝塞克維奇
貝塞克維奇是一只青蛙，年輕時(shí)，因解決一個(gè)名為掛谷問(wèn)題（Kakeya Problem）的初等本平面幾何問(wèn)題而出名。掛谷問(wèn)題是這樣描述的：讓一條長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段按360度的角度在一個(gè)平面上自由轉(zhuǎn)動(dòng)，這條線(xiàn)掃過(guò)的最小面積是多少？日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Soichi Kakeya）在1917年提出這個(gè)問(wèn)題，并成為之后十年內(nèi)未解決的著名問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，美國(guó)數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖喬治·伯克霍夫（George Birkhoff）公開(kāi)聲稱(chēng)，掛谷問(wèn)題和四色問(wèn)題是最著名的未解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)家們普遍相信，最小的面積應(yīng)該是π/8，即棒在三尖點(diǎn)內(nèi)擺線(xiàn)的面積（three-cusped hypocycloid）。三尖點(diǎn)內(nèi)擺線(xiàn)是一條優(yōu)美的三尖點(diǎn)曲線(xiàn)，它是一個(gè)半徑為四分之一的小圓圈在一個(gè)半徑為四分之三的定圓內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上的一個(gè)點(diǎn)所繪制的軌跡。長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)時(shí)始終與內(nèi)擺線(xiàn)相切，它的兩端也在內(nèi)擺線(xiàn)上。一條線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)時(shí)與內(nèi)擺線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)相切，這是一幅多么優(yōu)美的畫(huà)，絕大多數(shù)人相信它一定給出了最小面積。然后，貝塞克維奇給了大家一個(gè)驚喜：他證明，對(duì)任何正∈（positive ∈）來(lái)說(shuō)，這一線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積小于∈。
實(shí)際上，在掛谷問(wèn)題成為著名問(wèn)題之前，貝塞克維奇已經(jīng)在1920年解決了這個(gè)問(wèn)題，但在當(dāng)時(shí)，貝塞克維奇本人甚至不知道掛谷提出了這個(gè)問(wèn)題。1920年，他將解決方案用俄文發(fā)表在《彼爾姆物理和數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics Society）上，這是一份不被廣泛閱讀的期刊。彼爾姆大學(xué)位于距離莫斯科東面1100公里的彼爾姆城，在俄羅斯革命之后，這個(gè)城市成為許多著名數(shù)學(xué)家的短暫避難所。他們出版了兩期《彼爾姆物理和數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)期刊》，之后，期刊便在革命和內(nèi)戰(zhàn)的混亂中?？?。在俄羅斯之外，這份期刊不僅不為人知，而且不可獲取。1925年，貝塞克維奇離開(kāi)俄羅斯，來(lái)到哥本哈根，并在這里獲知到他已經(jīng)在5年前解決的著名掛谷問(wèn)題。他將解決方案重新出版，這一次，論文用英文發(fā)表在德國(guó)著名的《數(shù)學(xué)期刊》（Mathematische Zeitschrift）上。正如貝塞克維奇所說(shuō)，掛谷問(wèn)題是一個(gè)典型的青蛙問(wèn)題，一個(gè)與數(shù)學(xué)的其它方面沒(méi)有太多聯(lián)系的具體問(wèn)題。貝塞克維奇給出了一個(gè)優(yōu)雅、深刻的解決方案，揭示出它與平面中點(diǎn)集結(jié)構(gòu)的一般定理之間的聯(lián)系。
貝塞克維奇的風(fēng)格體現(xiàn)在他的三篇最好的經(jīng)典文章中，這些文章的標(biāo)題是：“平面點(diǎn)集之線(xiàn)性可測(cè)量的基本幾何性質(zhì)”（On the fundamental geometric properties），它們分別發(fā)表在1928年、1938年和1939年的《數(shù)學(xué)年鑒》（Mathematische Annalen）上。在這些論文中，他證明：平面上的每個(gè)線(xiàn)性可測(cè)量集可被分解為有規(guī)則和無(wú)規(guī)則的分支，規(guī)則分支在每個(gè)地方幾乎都有一個(gè)切線(xiàn)，而無(wú)規(guī)律分支都有一個(gè)零測(cè)量投射向幾乎所有方向。簡(jiǎn)而言之，規(guī)則分支看起來(lái)像連續(xù)曲線(xiàn)，而無(wú)規(guī)則分支看起來(lái)不像連續(xù)曲線(xiàn)。無(wú)規(guī)則分支的存在和性質(zhì)與掛谷問(wèn)題的貝塞克維奇解有聯(lián)系。他給我的工作之一是，在高維空間中將可測(cè)量集分為規(guī)則分支組件和無(wú)規(guī)則分支。雖然我在這個(gè)問(wèn)題上一事無(wú)成，卻永遠(yuǎn)被烙上了貝塞克維奇風(fēng)格。貝塞克維奇風(fēng)格是建筑學(xué)風(fēng)格。他用簡(jiǎn)單元素建造出精美、復(fù)雜的建筑結(jié)構(gòu)，通常情況下有層次計(jì)劃；當(dāng)大廈建成時(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)單的論證就可從完整結(jié)構(gòu)中推導(dǎo)出意外的結(jié)論。貝塞克維奇的每項(xiàng)工作都是一件藝術(shù)品，像巴赫的賦格曲一樣精心構(gòu)成。
在跟隨貝塞克維奇做了幾年的學(xué)生后，我來(lái)到美國(guó)普林斯頓，認(rèn)識(shí)了赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）。外爾是一只典型的鳥(niǎo)，正如貝塞克維奇是一只典型的青蛙。幸運(yùn)的是，在外爾退休回到位于蘇黎世的老家之前，我在普林斯頓高等研究所與他有一年的相處時(shí)間。他喜歡我，因?yàn)樵谶@一年間，我在《數(shù)學(xué)年鑒》（Annals of Mathematics）上發(fā)表了有關(guān)數(shù)論的論文，在《物理評(píng)論》（Physics Review）上發(fā)表了量子輻射理論的論文。他是當(dāng)時(shí)活在世上的少數(shù)幾位同時(shí)精通這兩領(lǐng)域的專(zhuān)家之一。他歡迎我到普林斯頓研究所，希望我像他一樣成為一只鳥(niǎo)。他失望了，我始終是一只固執(zhí)的青蛙。盡管我總是在各種各樣的泥洞附近閑逛，我一次只能關(guān)注一個(gè)問(wèn)題，沒(méi)有尋找問(wèn)題之間的聯(lián)系。對(duì)我而言，數(shù)論和量子理論是擁有各自美麗的兩個(gè)世界。我不像外爾一樣去發(fā)現(xiàn)構(gòu)建大設(shè)計(jì)的線(xiàn)索。
赫爾曼·外爾
外爾對(duì)量子輻射理論的偉大貢獻(xiàn)是他發(fā)明了規(guī)范場(chǎng)。規(guī)范場(chǎng)的想法有一段奇特歷史。1918年，在他統(tǒng)一廣義相對(duì)論和電磁學(xué)的理論中，他作為古典場(chǎng)論發(fā)明了它們，并稱(chēng)之為“規(guī)范場(chǎng)”，因?yàn)樗鼈冴P(guān)系到長(zhǎng)度測(cè)量的不可積分性。他的統(tǒng)一理論立即遭到愛(ài)因斯坦的公開(kāi)拒絕，經(jīng)歷了這個(gè)來(lái)自高層的霹靂之后，外爾并沒(méi)有放棄他的理論，只是進(jìn)入別的領(lǐng)域。這個(gè)的理論沒(méi)有可驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。1929年，在量子理論被其他人發(fā)明后，外爾意識(shí)到與經(jīng)典世界相比，他的規(guī)范場(chǎng)論更適合于量子世界，而他將經(jīng)典場(chǎng)論轉(zhuǎn)化為量子場(chǎng)論所做的事，就是將實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)。在量子力學(xué)中，每個(gè)電荷的量子伴隨一個(gè)有相位的復(fù)雜波函數(shù)，并且規(guī)范場(chǎng)涉及相位測(cè)量的不可積分性有關(guān)。規(guī)范場(chǎng)可以精確地與電磁勢(shì)等同，電荷守恒定律成為局部規(guī)范不變性理論的推論。
從普林斯頓回到蘇黎世4年后，外爾去世了，我應(yīng)《自然》之邀為他撰寫(xiě)訃告。“在20世紀(jì)開(kāi)始從事其數(shù)學(xué)生涯的所有活著的數(shù)學(xué)家中，”我寫(xiě)道，“赫爾曼·懷爾是在最多的不同領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)的人物之一。他堪與19世紀(jì)最偉大的全能數(shù)學(xué)家希爾伯特和龐加萊相提并論。活著的時(shí)候，他生動(dòng)地體現(xiàn)了純數(shù)學(xué)與理論物理前沿的聯(lián)系?，F(xiàn)在，他去世了，這種聯(lián)系中斷了，我們期望直接借助于創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)想象來(lái)理解物質(zhì)世界的時(shí)代結(jié)束了?！蔽野谒氖攀?，但我并不希望追隨他的夢(mèng)想。我高興地看到純數(shù)學(xué)和物理學(xué)在向截然相反的方向前進(jìn)。
訃告以外爾為人的概述結(jié)束：“外爾的性格是一種審美感，這主導(dǎo)了他對(duì)所有問(wèn)題的思考。有一次，他曾半開(kāi)玩笑地對(duì)我說(shuō)，‘我的工作總是努力將真與美統(tǒng)一起來(lái)；但是，如果只能選擇其中之一，那么我選擇美?！@段話(huà)是對(duì)他個(gè)性的完美概括，表明他對(duì)自然終極和諧的深刻信念，自然的規(guī)律必將以數(shù)學(xué)美的形式呈現(xiàn)出來(lái)。這表明他對(duì)人類(lèi)弱點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，他的幽默總會(huì)讓他不至于顯得傲慢自大。他在普林斯頓的朋友還記得我最后一次見(jiàn)他的模樣：那是去年四月在普林斯頓高等研究院舉行的春之舞會(huì)上：一個(gè)高大、和藹、快樂(lè)的人，盡情地自我享受，他明朗的身架和輕快的步伐讓人一點(diǎn)看不出他已經(jīng)69歲。”
外爾逝世后的五十年是實(shí)驗(yàn)物理和觀察天文學(xué)的黃金時(shí)代，也培根學(xué)派旅行者收集事實(shí)、青蛙們?cè)谖覀兩娴男∑訚傻厣咸剿鞯狞S金時(shí)代。在這50年中，青蛙們積累了大量的有關(guān)宇宙結(jié)構(gòu)、眾多粒子和其間相互作用的詳盡知識(shí)。在持續(xù)探索新領(lǐng)域的同時(shí)，宇宙變得越來(lái)越復(fù)雜。不再是展現(xiàn)外爾數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔和美麗的大設(shè)計(jì) ，探索者發(fā)現(xiàn)了夸克和伽瑪射線(xiàn)爆等奇異事件，以及超對(duì)稱(chēng)和多重宇宙等新奇概念。與此同時(shí)，在持續(xù)探索混沌和許多被電子計(jì)算機(jī)打開(kāi)的新領(lǐng)域時(shí)，數(shù)學(xué)在變得越來(lái)越復(fù)雜。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了可計(jì)算性的中心謎團(tuán)，這個(gè)猜想表示為P不等于NP。這個(gè)猜想聲稱(chēng)：存在這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它的個(gè)案可以被很快解決，但沒(méi)有適用于所有情形的快速算法可解決所有問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題中最著名的例子是旅行銷(xiāo)售員問(wèn)題，即在知道每?jī)蓚€(gè)城市之間距離的前提下，尋找這位銷(xiāo)售員在這一系列城市間旅行的最短路徑。所有的專(zhuān)家都相信這是猜想是正確的，旅行銷(xiāo)售員的問(wèn)題是P不等于NP的實(shí)際問(wèn)題。但沒(méi)有人知道證明這一問(wèn)題的一點(diǎn)線(xiàn)索。在赫爾曼·外爾19世紀(jì)的數(shù)學(xué)世界中，這個(gè)謎團(tuán)甚至還沒(méi)有形成。
楊振寧和尤里·曼寧
對(duì)鳥(niǎo)們來(lái)說(shuō)，最近五十年是艱難時(shí)光。然而，即使在艱難時(shí)代，也有事情等著鳥(niǎo)們?nèi)プ?，他們勇敢地去解決這些事情。在赫爾曼·外爾離開(kāi)普林斯頓后不久，楊振寧（Frank Yang）從芝加哥來(lái)到普林斯頓，搬進(jìn)了外爾的舊居，在我這一代的物理學(xué)家中，他接替外爾的位置成為一只領(lǐng)頭鳥(niǎo)。
楊振寧
在外爾還活著時(shí)，楊振寧和他的學(xué)生羅伯特·米爾斯（Robert Mills）發(fā)現(xiàn)了非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)（non-Abelian gauge fields）的楊-米爾斯理論，這是外爾規(guī)范場(chǎng)思想的一個(gè)漂亮外推。外爾的規(guī)范場(chǎng)是一個(gè)經(jīng)典數(shù)量，滿(mǎn)足了乘法交換定律。楊-米爾斯理論有一個(gè)不交換的三重規(guī)范場(chǎng)（triplet of gauge fields）。它們滿(mǎn)足量子力學(xué)自旋三分量的交換法則，這是最簡(jiǎn)單的非阿貝爾躺代數(shù)A2（non-abelian lie algebra A2）的生成子。這個(gè)理論后來(lái)如此普遍，以至規(guī)范場(chǎng)論成為任何有限元李代數(shù)的生成子。有了這種普遍性，楊—米爾斯規(guī)范場(chǎng)理論為所有已知粒子和其相互作用提供了一個(gè)模型框架，這個(gè)模型就是今天粒子物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型。通過(guò)證明愛(ài)因斯坦的重力場(chǎng)論適合于同樣的框架，以克里斯托夫三指標(biāo)符號(hào)規(guī)取代范場(chǎng)的作用，楊振寧為這個(gè)理論上寫(xiě)下點(diǎn)睛之筆。
在他1918年一篇論文的附錄里，加上1955年為慶祝他70歲生日而出版的論文選集中，外爾闡述了他對(duì)規(guī)范場(chǎng)理論的最后想法（這是我的翻譯）：“對(duì)我的理論最強(qiáng)有力的辯護(hù)應(yīng)該是：規(guī)范場(chǎng)不變性與電荷守恒相關(guān)，正如坐標(biāo)不變性與能量動(dòng)量守恒的相關(guān)性。”30年后，楊振寧來(lái)到瑞士蘇黎世，參加外爾百歲誕辰慶典。楊振寧在演講中引用這段話(huà)，作為外爾提出將規(guī)范場(chǎng)不變性作為物理學(xué)統(tǒng)一原理的思想證據(jù)。楊振寧繼續(xù)說(shuō)：“通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)的發(fā)展，今天我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到：對(duì)稱(chēng)性、李群和規(guī)范場(chǎng)不變性在確定物質(zhì)世界的基本作用力中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。我將之稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)支配相互作用基本原理?！睂?duì)稱(chēng)支配相互作用的觀點(diǎn)，是楊振寧對(duì)外爾言論的概括。外爾發(fā)現(xiàn)規(guī)范場(chǎng)不變性與物質(zhì)守恒定律有密切關(guān)系。但他只能走這一步，不能走得太遠(yuǎn)，因?yàn)樗恢揽山粨Q為阿貝爾域的規(guī)范場(chǎng)不變性。借助于非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)產(chǎn)生的非平凡李代數(shù)，場(chǎng)之間形成的相互作用變得獨(dú)特，因此，對(duì)稱(chēng)性支配相互作用。這是楊振寧對(duì)物理學(xué)的偉大貢獻(xiàn)。這是一只鳥(niǎo)的貢獻(xiàn)，它高高地飛翔在諸多小問(wèn)題構(gòu)成的熱帶雨林之上，我們中的絕大多數(shù)在這些小問(wèn)題耗盡了一生的時(shí)光。
我深深敬重的另一只鳥(niǎo)是俄羅斯數(shù)學(xué)家尤里·曼寧（Yuri Manin），他最近出版了一本名為《數(shù)學(xué)如隱喻》（Mathematics as Metaphor）的隨筆。這本書(shū)以俄文在莫斯科出版，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)將之譯為英文出版。我為英文版書(shū)作序。在這里，我簡(jiǎn)單引用我的序言：“對(duì)鳥(niǎo)們來(lái)說(shuō)，《數(shù)學(xué)如隱喻》是一個(gè)好口號(hào)。它意味著數(shù)學(xué)中最深刻的概念是將一個(gè)世界的思想與另一個(gè)世界的思想聯(lián)系起來(lái)。在17世紀(jì)，笛卡爾用他的坐標(biāo)概念將彼此不相干的代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)；牛頓用他的流數(shù)（fluxions）概念將幾何學(xué)和力學(xué)的世界聯(lián)系起，今天，我們將這種方法稱(chēng)為微積分學(xué)。19世紀(jì)，布爾（Boole）用他的符號(hào)邏輯（symbolic logic）概念將邏輯與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)；黎曼用他的黎曼曲面概念將幾何和分析的世界聯(lián)系起來(lái)。坐標(biāo)、流數(shù)、符號(hào)邏輯和黎曼曲面，都是隱喻，將詞的意義從熟悉的語(yǔ)境拓展到陌生的語(yǔ)境。曼寧將數(shù)學(xué)的未來(lái)看成是對(duì)可見(jiàn)但仍不可知的隱喻的一個(gè)探索。最深刻的一個(gè)隱喻是數(shù)論和物理學(xué)之間在結(jié)構(gòu)上的相似性。在這兩個(gè)領(lǐng)域中，他看到并行概念誘人的一暼，對(duì)稱(chēng)性將連續(xù)與離散聯(lián)結(jié)起來(lái)。他期待一種名為數(shù)學(xué)量化（quantization of mathematics）的統(tǒng)一。”
《數(shù)學(xué)如隱喻》（Mathematics as Metaphor）
“曼寧不認(rèn)可培根主義者的故事。1900年，希爾伯特在巴黎的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出著名的23個(gè)問(wèn)題，規(guī)劃了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)議程。根據(jù)曼寧的觀點(diǎn)，希爾伯特的問(wèn)題是對(duì)數(shù)學(xué)中心議題的一種干擾。曼寧認(rèn)為數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展來(lái)自綱領(lǐng)，而非問(wèn)題。通常情況下，問(wèn)題是通過(guò)采用老想法的新方法而得以解決。研究綱領(lǐng)是誕生新想法的苗圃。他認(rèn)為，以一種更抽象語(yǔ)言重寫(xiě)了整個(gè)數(shù)學(xué)的布爾巴基綱領(lǐng)是20世紀(jì)許多新思想的源泉。他將統(tǒng)一了數(shù)論和幾何學(xué)的朗蘭茲綱領(lǐng)視為21世紀(jì)新思想的希望之泉。解決了著名未解決問(wèn)題的人會(huì)贏得大獎(jiǎng)，但只有提出新綱領(lǐng)的人才是真正的先鋒?！?/p>
俄文版的《數(shù)學(xué)如隱喻》中有十個(gè)篇章在英文版中被刪除了。美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)認(rèn)為，英文讀者不會(huì)對(duì)這些篇章產(chǎn)生興趣。這種刪除是雙重不幸。第一，作為一位非凡的數(shù)學(xué)家，曼寧廣博的興趣遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了數(shù)學(xué)，但英文版讀者只能看見(jiàn)觀點(diǎn)被攔截的曼寧；第二，我們看見(jiàn)的是觀點(diǎn)被截?cái)嗟亩砹_斯文化，相比較于英語(yǔ)言文化，俄羅斯文化沒(méi)有那么多的分門(mén)別類(lèi)，它讓數(shù)學(xué)家與歷史學(xué)家、藝術(shù)家和詩(shī)人有更密切的接觸。
約翰·馮·諾伊曼
約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中另一位重要人物。馮?諾伊曼是一只青蛙，他用自己驚人的技術(shù)技能解決了數(shù)學(xué)和物理學(xué)眾多分支領(lǐng)域中的問(wèn)題。從創(chuàng)立數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)開(kāi)始，他發(fā)現(xiàn)了集合論的第一個(gè)令人滿(mǎn)意的公理集，避免了康托（Cantor）在試圖解決無(wú)窮集和無(wú)窮數(shù)時(shí)遇到的邏輯悖論。幾年后，馮·諾伊曼的鳥(niǎo)類(lèi)朋友庫(kù)特·哥德?tīng)枺↘urt Godel）用他的公理集證明了數(shù)學(xué)中的不可判定性命題。
約翰·馮·諾伊曼
哥德?tīng)柕亩ɡ碜岠B(niǎo)們對(duì)數(shù)學(xué)有了新看法。哥德?tīng)栔螅瑪?shù)學(xué)不再是與獨(dú)特真理概念捆綁在一起的單一結(jié)構(gòu)，而是帶有不同公理集和不同真理概念的結(jié)構(gòu)群島。哥德?tīng)栕C明數(shù)學(xué)不可窮盡。無(wú)論選擇怎樣的公理集作為基礎(chǔ)，鳥(niǎo)們總能找到這些公理不能回答的問(wèn)題。
馮·諾伊曼從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的奠定邁向了量子力學(xué)基礎(chǔ)的奠定。為了給量子力學(xué)一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他創(chuàng)立了一個(gè)宏大的算子環(huán)理論（theory of rings of operator）。每個(gè)可觀察量都可以由一個(gè)線(xiàn)性算子來(lái)代表，量子行為的特殊性可由算術(shù)代數(shù)忠實(shí)地代表。正如牛頓發(fā)明了描述經(jīng)典力學(xué)的微積分，馮?諾伊曼發(fā)明了描述量子力學(xué)的算子環(huán)理論。
馮·諾伊曼在幾個(gè)領(lǐng)域做出了奠基性貢獻(xiàn)，特別是從博弈論到數(shù)字計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)。在他生命的最后十年里，他深深了陷到計(jì)算機(jī)里。他對(duì)計(jì)算機(jī)的興趣如此強(qiáng)烈，以至決定不僅要研究它們的設(shè)計(jì)，而且還要用真正的硬件和軟件構(gòu)建一臺(tái)可做科學(xué)研究的計(jì)算機(jī)。我對(duì)馮·諾伊曼在普林斯頓高等研究所的早期計(jì)算機(jī)有生動(dòng)清晰的記憶。那時(shí)，他有兩個(gè)主要的科學(xué)興趣：氫彈和氣象學(xué)。夜晚，他用計(jì)算機(jī)做氫彈問(wèn)題，白天，則做氣象學(xué)問(wèn)題。白天，游蕩在計(jì)算機(jī)大樓里的許多人都是氣象學(xué)家，他們的領(lǐng)導(dǎo)是朱爾·查耐（Jule Charney）。查耐是一位真正的氣象學(xué)家，妥善謙卑地討論天氣變幻莫測(cè)的神秘，懷疑計(jì)算機(jī)解決這個(gè)神秘的能力。我聽(tīng)過(guò)馮·諾伊曼以這個(gè)問(wèn)題為主題的一次演講。如往常一樣，他充滿(mǎn)自信地說(shuō)：“計(jì)算機(jī)將使我們能夠在任何時(shí)刻將大氣劃分為穩(wěn)定域和不穩(wěn)定域。我們可以預(yù)測(cè)穩(wěn)定域，我們能夠控制不穩(wěn)定域?！?/p>
馮·諾伊曼相信，任何不穩(wěn)定域都可以通過(guò)明智而審慎的小擾動(dòng)來(lái)推動(dòng)，推動(dòng)它向任何所期望的方向移動(dòng)。小擾動(dòng)可以通過(guò)攜帶煙霧發(fā)生器的飛機(jī)艦隊(duì)來(lái)實(shí)施，在擾動(dòng)效果最佳的地方吸收太陽(yáng)光，提高或降低局部溫度。特別是，通過(guò)盡早鑒不穩(wěn)定域，我們能在颶風(fēng)之初將之停止，然后在該區(qū)域氣溫上升并形成漩渦之前，降低其氣溫。馮·諾伊曼在1950年指出，只需用十年的時(shí)間就能建造足以精確診斷大氣中穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域的強(qiáng)大計(jì)算機(jī)。一旦能夠精確診斷，我們就能在短時(shí)間內(nèi)實(shí)施天氣控制。他期望能在20世紀(jì)60年代的十年中，對(duì)天氣的實(shí)際控制成為常規(guī)操作。
馮·諾伊曼當(dāng)然錯(cuò)了。他錯(cuò)在不知道混沌（chaos）。我們現(xiàn)在明白，當(dāng)大氣運(yùn)動(dòng)局部不穩(wěn)定時(shí)，實(shí)際上常常是發(fā)生了混沌?！盎煦纭币馕吨鴦傞_(kāi)始聚攏在一起運(yùn)動(dòng)會(huì)隨著時(shí)間推進(jìn)而呈指數(shù)般離散。當(dāng)運(yùn)動(dòng)成為混沌時(shí)，它就不可預(yù)測(cè)，小擾動(dòng)不可能將之推向可預(yù)測(cè)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。小擾動(dòng)通常是將之推向另一種同樣不可預(yù)測(cè)的混沌運(yùn)動(dòng)。所以，馮·諾伊曼控制天氣的戰(zhàn)略思想破產(chǎn)了。最終，他是一位偉大的數(shù)學(xué)家，但也是一位中庸的氣象學(xué)家。
1963年，在馮·諾伊曼逝世6年后，愛(ài)德華·勞倫茲發(fā)現(xiàn)氣象方程的解總是混沌。勞倫茲是一位氣象學(xué)家，通常也被認(rèn)為是混沌的發(fā)現(xiàn)者。他在氣象學(xué)的背境中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，并賦予它們一個(gè)現(xiàn)代化的名字。事實(shí)上，早在1943年在劍橋的一次演講中，我已聽(tīng)數(shù)學(xué)家瑪麗·卡特賴(lài)特描述了同樣的現(xiàn)象，比勞倫茲早20年?？ㄌ刭?lài)特1998年以97歲高齡逝世，她以不同的名稱(chēng)稱(chēng)呼這種現(xiàn)象，但他們講述的是同一現(xiàn)象。她是在描述一種非線(xiàn)性放大器振動(dòng)的范德波爾方程的解中發(fā)現(xiàn)了這些現(xiàn)象。范德波爾方程在第二次世界大戰(zhàn)中變得重要，因?yàn)樵谠缙诘睦走_(dá)系統(tǒng)，非線(xiàn)性放大器要為發(fā)報(bào)機(jī)提供動(dòng)力。發(fā)報(bào)機(jī)工作不規(guī)則時(shí)，空軍就會(huì)責(zé)備制造商生產(chǎn)了有缺陷的放大器?，旣悺たㄌ刭?lài)特被請(qǐng)來(lái)尋找問(wèn)題。她發(fā)現(xiàn)問(wèn)題出在在范德波爾方程。她指出，范德波爾方程的解有精確的混沌行為，這正在空軍所抱怨的。在我聽(tīng)馮·諾伊曼談?wù)撎鞖饪刂浦?年，我已經(jīng)從瑪麗?卡特賴(lài)特處得知所有的混沌問(wèn)題，但我沒(méi)有遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)足以將二者聯(lián)系起來(lái)。我從來(lái)不曾想到：范德波爾方程所描述的不規(guī)則行為可用于天氣預(yù)報(bào)的研究。如果我是一只鳥(niǎo)而不是一只青蛙，我也許能看出其中的聯(lián)系，也許就能幫助馮?諾伊曼解決許多麻煩。如果他在1950年就知道混沌，那么他會(huì)深入地思考這個(gè)問(wèn)題，并會(huì)在1954年就混沌問(wèn)題談一些重要的見(jiàn)解。
在走向生命盡頭之時(shí)，馮·諾伊曼陷入了麻煩。因?yàn)樗且恢徽嬲那嗤埽總€(gè)人都期望他是一只飛翔的鳥(niǎo)。1954年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在荷蘭阿姆斯特丹舉行。國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)每四年舉辦一次，應(yīng)邀在大會(huì)開(kāi)幕式上作演講是一個(gè)崇高的榮譽(yù)。阿姆斯特丹大會(huì)的組織者邀請(qǐng)馮·諾伊曼作大會(huì)主題演講，希望能再現(xiàn)希爾伯特1990年在巴黎大會(huì)上的盛況。正如希爾伯特提出的未解決問(wèn)題指引了20世紀(jì)前半葉的數(shù)學(xué)發(fā)展，馮·諾伊曼應(yīng)邀為20世紀(jì)后半葉的數(shù)學(xué)指點(diǎn)江山。馮·諾伊曼演講的題目已經(jīng)在大會(huì)綱要中公布了。它是：《數(shù)學(xué)中未解決的問(wèn)題——大會(huì)組委會(huì)邀請(qǐng)演講》。然而，會(huì)議結(jié)束后，包含所有演講內(nèi)容的完整會(huì)議記錄出版了，除了馮·諾伊曼的這篇演講之外。會(huì)議記錄中有一空白頁(yè)，上面只寫(xiě)著馮·諾伊曼的名字和演講題目，下面寫(xiě)著：“演講文稿尚未獲取?！?/p>
究竟發(fā)生了什么事？我知道所發(fā)生的事情，因?yàn)?954年9月2日，星期四，下午3：00，我正坐在阿姆斯特丹音樂(lè)廳的聽(tīng)眾席上。大廳里擠滿(mǎn)了數(shù)學(xué)家，所有人都期望在這樣一個(gè)歷史時(shí)刻聆聽(tīng)一個(gè)精彩絕倫的演講。演講結(jié)果卻是令人非常失望。馮?諾伊曼可能在幾年前就接受邀請(qǐng)做這樣一個(gè)演講，然后將之忘到九宵云外。諸事纏身，他忽略了準(zhǔn)備演講之事。然后，在最一刻，他想起來(lái)他將旅行到阿姆斯特丹，談一些有關(guān)數(shù)學(xué)的事；他拉開(kāi)一個(gè)抽屜，從中抽出一份20世紀(jì)30年代的老演講稿，彈掉上面灰塵。這是一個(gè)有關(guān)算子環(huán)的演講，在30年代是一個(gè)全新、時(shí)髦的話(huà)題。沒(méi)有談任何未解決的問(wèn)題，沒(méi)有談任何未來(lái)的問(wèn)題。沒(méi)有談任何計(jì)算機(jī)，我們知道這是馮·諾伊曼心中最親愛(ài)的話(huà)題，他至少應(yīng)該談一些有關(guān)計(jì)算機(jī)的新的、激動(dòng)人心的事。音樂(lè)廳里的聽(tīng)眾開(kāi)始變得焦躁不安。有人用全音樂(lè)廳里的人都能聽(tīng)見(jiàn)的聲音大聲說(shuō)：“Aufgewarmte suppe”，這是一句德國(guó)，意思是“先將湯加熱（warmed-up soup）”。1954年，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家都懂德語(yǔ)，他們明白這句玩笑的意思。馮·諾伊曼陷入深深的尷尬，匆匆結(jié)束演講，沒(méi)有等待任何提問(wèn)就離開(kāi)了音樂(lè)廳。
弱混沌
如果馮·諾伊曼在阿姆斯特丹演講時(shí)對(duì)混沌略有了解，那么他可能提出的未解決問(wèn)題之一應(yīng)該是弱混沌。50多年后的今天，弱混沌依然是尚未解決的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題是要明白為什么混沌運(yùn)動(dòng)常常受到邊界約束，不會(huì)引發(fā)任何猛烈的動(dòng)蕩。弱混沌的一個(gè)好例子是太陽(yáng)系中行星和衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)?？茖W(xué)家們最近發(fā)現(xiàn)，這些運(yùn)動(dòng)是弱混沌。這是一個(gè)令人震驚的發(fā)現(xiàn)，顛覆了太陽(yáng)系作為有序穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)最好例證的傳統(tǒng)概念。200年前，法國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace）認(rèn)為，他已經(jīng)證明了太陽(yáng)系是穩(wěn)定的。現(xiàn)在看來(lái)拉普拉斯錯(cuò)了。軌道的精確數(shù)值積分清楚地顯示，相鄰軌道呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)偏離。在經(jīng)典力學(xué)的世界里，弱混沌似乎無(wú)處不在。
在長(zhǎng)期積分（long-term integration）做出來(lái)之前，人們從未想象過(guò)太陽(yáng)系中的混沌行為，因?yàn)檫@種混沌是弱的。弱混沌意味著相鄰軌道呈指數(shù)級(jí)離散，卻不會(huì)離散得太遠(yuǎn)。這種離散開(kāi)始時(shí)以指數(shù)級(jí)速度增長(zhǎng)，但隨后就維持在邊界處。因?yàn)樾行沁\(yùn)動(dòng)的離散是弱的，所以太陽(yáng)系能在40億多年的時(shí)光里得以生存。盡管這種運(yùn)動(dòng)是混沌的，但行星從來(lái)不會(huì)在遠(yuǎn)離它們所熟悉的地區(qū)漫游，因此，太陽(yáng)系作為一個(gè)整體從來(lái)不曾分崩離析。盡管混沌無(wú)處不在，但拉普拉斯將太陽(yáng)系當(dāng)作像時(shí)鐘運(yùn)動(dòng)一樣完美的觀點(diǎn)離事實(shí)并不遙遠(yuǎn)。
在氣象學(xué)領(lǐng)域，我們看到了相同的弱混沌現(xiàn)象。盡管新澤西的天氣糟糕地混沌，但這種混沌嚴(yán)格有限。夏天和冬天有著不可預(yù)測(cè)的溫和或嚴(yán)厲，我們卻能可靠地預(yù)測(cè)：氣溫絕對(duì)不會(huì)升至45攝氏度或低到零下30攝氏度，這是經(jīng)常出現(xiàn)在印度和明尼蘇達(dá)的極端情況。物理學(xué)中沒(méi)有守恒定律禁止新澤西的氣溫不可以升至印度一樣的溫度，或禁止新澤西的氣溫不能降低到明尼蘇達(dá)的氣溫?；煦绲娜觞c(diǎn)成為這個(gè)星球上生命長(zhǎng)期生存的關(guān)鍵。弱混沌在賦予我們各種挑戰(zhàn)性天氣的能力的同時(shí)，也保護(hù)我們不致遭受危及我們生存的劇烈溫差波動(dòng)。我們還不能理解混沌保持這種仁慈之弱的原因。這是今天在座的年輕青蛙們可以帶回家的另一個(gè)未解決問(wèn)題。我挑戰(zhàn)你們弄明白這個(gè)問(wèn)題：為什么在各種動(dòng)力系統(tǒng)中觀察到的混沌均是普遍微弱。
混沌的特征已被眾多的數(shù)據(jù)和無(wú)止境的美麗圖片所勾勒，但卻缺少?lài)?yán)格理論。嚴(yán)謹(jǐn)理論賦予一個(gè)課題以智力的深度和精確。在你能證明一個(gè)嚴(yán)格理論之前，你不可能全面理解你所關(guān)注的概念的意義。在混沌領(lǐng)域，我知道只有一個(gè)嚴(yán)格理論在1975年被李天巖（Tien-Yien Li）和吉姆·約克（Jim Yorke）所證明，這篇短論文的題目是：《周期三蘊(yùn)含混沌》（Period Three Implies Chaos）。李-約克論文是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中不朽的珍寶。他們的理論將非線(xiàn)性地圖的區(qū)間擴(kuò)展至它本身。當(dāng)被當(dāng)作是一個(gè)經(jīng)典粒子的軌道時(shí)，點(diǎn)位置的連續(xù)性就能重復(fù)。如果一個(gè)點(diǎn)在N次映像之后又回到它原始的位置，那么這個(gè)軌道就有N個(gè)周期。由此而論，如果一個(gè)軌道從所有的周期軌道中離散，那么這個(gè)軌道就被定義為混沌。這個(gè)理論表明，如果單個(gè)軌道擁有三個(gè)存在周期，那么混沌軌道就是存在的。這個(gè)證明簡(jiǎn)潔、短小。在我的印象里，這個(gè)理論和它的證明投向混沌基本特征的光芒勝過(guò)幾千張美麗圖片。它解釋了混沌為什么在這個(gè)世界里普遍存在，但沒(méi)有解釋混沌為什么總是這樣弱，這是留給未來(lái)的一個(gè)任務(wù)。我相信，在證明有關(guān)弱混沌的嚴(yán)謹(jǐn)定理之前，我們是不會(huì)從根本上理解弱混沌。
弦理論家
我想在弦理論上講幾句。只講幾句，是因?yàn)槲覍?duì)弦理論知之甚少。我從來(lái)沒(méi)有勞心費(fèi)神地學(xué)習(xí)這個(gè)理論，或自己花功夫去研究它。但是，當(dāng)我在普林斯頓研究所有一個(gè)家時(shí)，我周?chē)h(huán)繞著弦理論專(zhuān)家，我有時(shí)能聽(tīng)到他們之間的談話(huà)。偶爾，我也能明白一點(diǎn)點(diǎn)他們談話(huà)的內(nèi)容。有三件事情是顯而易見(jiàn)：第一，他們正在做第一流的數(shù)學(xué)，從而讓邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）、伊薩多·辛格（Isadore Singer）這樣的領(lǐng)袖級(jí)純數(shù)學(xué)家也愛(ài)上弦理論，它開(kāi)啟了一個(gè)有新想法和新問(wèn)題的全新數(shù)學(xué)分枝，最不尋常的是，它賦予數(shù)學(xué)一種解決老問(wèn)題的新方法，這些老問(wèn)題以前是不能解決的；第二，這些弦理論學(xué)家認(rèn)為自己是物理學(xué)家而非數(shù)學(xué)家。他們相信自己的理論描述了物質(zhì)世界的一些真實(shí)東西；第三，還沒(méi)有任何證明顯示這個(gè)理論與物理學(xué)相關(guān)。這個(gè)理論至今尚未被實(shí)驗(yàn)所證明。這個(gè)理論還在它自己的世界里，遠(yuǎn)離物理學(xué)。弦理論學(xué)家們付出艱苦努力，試圖演繹這個(gè)可能在真實(shí)世界里被檢驗(yàn)的理論的結(jié)果，但至今尚未成功。
我的同事愛(ài)德華·威騰（Ed Witten）、胡安·馬爾達(dá)西那（Juan Maldacena）和其他創(chuàng)建弦理論的人，都是鳥(niǎo)，他們飛翔在高高的天空，俯覽遠(yuǎn)隔千里的眾山全貌。在世界各地的大學(xué)里，幾千名在弦理論上埋頭苦干的謙卑實(shí)踐者是青蛙，他們探索那些鳥(niǎo)們?cè)诘仄骄€(xiàn)上第一次看到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)。我對(duì)弦理論的憂(yōu)慮是從社會(huì)學(xué)角度而不是科學(xué)角度。成為發(fā)現(xiàn)新聯(lián)系和探求新方法的第一批幾千名弦理論學(xué)家之一，這是一個(gè)光榮的事；但成為第二批或萬(wàn)名弦理論學(xué)家之一，則不是一件光榮的事。今天，世界各地分布著上萬(wàn)名弦理論學(xué)家。對(duì)第1萬(wàn)名或第2000名科學(xué)家來(lái)說(shuō)，情形是危險(xiǎn)的。不可預(yù)測(cè)事情可能會(huì)發(fā)生，比如形勢(shì)變化，弦理論不再時(shí)髦。這樣的事情也可能發(fā)生：9000名弦理論學(xué)家可能會(huì)失業(yè)。他們?cè)谝粋€(gè)狹窄的領(lǐng)域接受訓(xùn)練，在其它科學(xué)領(lǐng)域可能無(wú)法被聘用。
為什么如此之多的年輕人被弦理論所吸引？這種吸引部分可能是智力因素。弦理論如此大膽、在數(shù)學(xué)上如此高貴。但這種吸引也可能是社會(huì)因素。弦理論吸引人的原因是它能提供職位。那么，為什么弦理論領(lǐng)域能提供這么多的職位呢？因?yàn)橄依碚撌橇畠r(jià)的。如果你是某個(gè)偏遠(yuǎn)地方的大學(xué)物理學(xué)主任，沒(méi)有多少錢(qián)，你無(wú)法承擔(dān)建造一個(gè)做物理實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)代化實(shí)驗(yàn)室，但你有能力聘請(qǐng)幾位弦理論學(xué)家，因此，你提供了幾個(gè)弦理論的職位，這樣，你就擁有了一個(gè)現(xiàn)代化的物理系。對(duì)提供職位的系主任而言、對(duì)接受這些職位的年輕人而言，這是多么大的吸引力！然而，對(duì)年輕人和科學(xué)的未來(lái)而言，這是危險(xiǎn)有害的情形。我并不是說(shuō)我們應(yīng)該在年輕人發(fā)現(xiàn)弦理論激動(dòng)人心時(shí)勸阻他們不要從事這項(xiàng)研究。我的意思是我們應(yīng)該給他們可替代的選擇，讓他們不致于因經(jīng)濟(jì)需求而被迫進(jìn)入弦理論。
最后，我想談?wù)勎覍?duì)弦理論未來(lái)的推測(cè)。我的推測(cè)可能是錯(cuò)的。我從來(lái)沒(méi)有幻想過(guò)我能預(yù)測(cè)未來(lái)。我告訴你們我的推測(cè)，只是想給你們一些思考的問(wèn)題。我認(rèn)為，弦理論不可能完全成功或完全無(wú)用。所謂完全成功，我的意思是它是一種完全的物理理論，解釋了粒子和其間相互作用的所有細(xì)節(jié)。所謂完全的無(wú)用，我的意思是它保留了一種純數(shù)學(xué)的美麗。我的推測(cè)是，弦理論將在完全成功與完全失敗之間的某一處終結(jié)。我認(rèn)為它應(yīng)該類(lèi)似于李群，這是索菲斯·李（Sophus Lie）在19世紀(jì)為經(jīng)典物理創(chuàng)建的一個(gè)數(shù)學(xué)框架。所以，只要物理學(xué)保持其經(jīng)典性，李群就是一個(gè)失敗。它們是一個(gè)尋找問(wèn)題的解決方案。但另一方面，五十年后，量子革命改變了物理學(xué)，李代數(shù)找到用武之地：成為認(rèn)識(shí)量子世界對(duì)稱(chēng)性中心作用的關(guān)鍵。我期望今后五十年或一百年中，物理學(xué)的另一場(chǎng)革命會(huì)引入我們今天一無(wú)所知的新概念，這些新概念將賦予弦理論一種全新的意義。在此之后，弦理論會(huì)突然發(fā)現(xiàn)自己在宇宙中應(yīng)有的位置，提出對(duì)真實(shí)世界可經(jīng)測(cè)試的陳述。我警告你們：這個(gè)有關(guān)未來(lái)的猜測(cè)可能是錯(cuò)的，它本身具有證偽性的美德，（科學(xué)哲學(xué)大師）卡爾·波普爾（karl Popper）說(shuō)，這正是科學(xué)命題的特點(diǎn)。明天，它可能會(huì)被來(lái)自大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)的新發(fā)現(xiàn)所推翻。
再談曼寧
在結(jié)束這個(gè)演講之際，我再回到曼寧和他的書(shū)《數(shù)學(xué)如隱喻》。這本書(shū)主要談數(shù)學(xué)，但它也許會(huì)讓西方讀者感到吃驚，因?yàn)樽髡哂猛瑯拥奈牟琶枋隽似渌黝}，比如集體無(wú)意識(shí)、人類(lèi)語(yǔ)言的起源、孤獨(dú)癥心理學(xué)、魔術(shù)師在諸多神話(huà)文化里的作用。對(duì)他的俄羅斯的同胞來(lái)說(shuō)，如此豐富的興趣專(zhuān)長(zhǎng)并不令人驚訝。俄羅斯知識(shí)分子保持了老俄羅斯知識(shí)階層的驕傲傳統(tǒng)，科學(xué)家、詩(shī)人、藝術(shù)家和音樂(lè)家屬于一個(gè)獨(dú)立階層。今天依然如此，我們?cè)谄踉X夫的戲劇中看見(jiàn)他們：一群理想主義者因疏遠(yuǎn)迷信的社會(huì)和反復(fù)無(wú)常的政府而聯(lián)結(jié)在一起。在俄羅斯，數(shù)學(xué)家、作曲家和電影制片人傾心交談，一同走在冬夜的雪地里，圍坐在一瓶酒的周?chē)?，分享著彼此的思想?/p>
曼寧是一只鳥(niǎo)，他的視野超越了數(shù)學(xué)疆界進(jìn)入了更廣闊的人類(lèi)文化地貌。他的興趣愛(ài)好之一是瑞士心理學(xué)家卡爾·榮格（C.G榮格1875年7月26日——1961年6月6日，瑞士著名的心理學(xué)家和分析心理學(xué)的創(chuàng)始人。）發(fā)明的原型理論。榮格認(rèn)為，原型是一種根植于一種我們共同分享的集體無(wú)意識(shí)之中的精神意象。原型所擁有的這種強(qiáng)烈感情是已經(jīng)丟失的集體悲歡喜樂(lè)記憶的遺跡。曼寧說(shuō)，為了尋找這種理論的啟發(fā)性，我們不必將榮格的理論作為一種真理來(lái)接受。
三十多年前，歌手莫尼克 莫瑞利（Monique Morelli）錄制了一盤(pán)皮埃爾 邁克奧蘭（Pierre Macorlan）作詞的唱片。其中一首歌是《死城》（La ville Morte），縈繞于心的旋律切合著莫瑞利深沉的低音，隨著歌聲的對(duì)位，一個(gè)具有強(qiáng)烈沖擊力的死城形象生動(dòng)地出現(xiàn)了。歌聲并沒(méi)有特殊之處：
“當(dāng)我們走進(jìn)這座死城，我的手牽著瑪戈特……我們帶著受傷的腳從墓地中走出，沉默無(wú)言，走過(guò)這些沒(méi)有上鎖的門(mén)，這些模模糊糊可以瞥見(jiàn)的洞，我們走過(guò)這些門(mén)，沉默無(wú)言，垃圾埇里充滿(mǎn)驚聲尖叫?！?/p>
每次聆聽(tīng)這首歌，我的情感都極為強(qiáng)烈。我常常問(wèn)自己：為什么這首歌的簡(jiǎn)單歌詞似乎與一些深厚的無(wú)意識(shí)記憶產(chǎn)生了共鳴？那些死亡的靈魂似乎通過(guò)莫瑞利的歌聲在述說(shuō)。現(xiàn)在，意料之外，我在曼寧的書(shū)中找到了答案。在“空城原型”一章中，曼寧描述了從古至今，從人類(lèi)聚集在城市開(kāi)始，從人類(lèi)聚集成軍隊(duì)去蹂躪它們開(kāi)始，死城原型如何在建筑學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)和電影的創(chuàng)作中反復(fù)出現(xiàn)。在邁克奧蘭歌詞中，一位述說(shuō)主角是一位占領(lǐng)軍中的老兵，當(dāng)他與妻子穿過(guò)那座塵埃滿(mǎn)布的死城時(shí)，他聽(tīng)到了更多：“在一個(gè)時(shí)辰的時(shí)間里，在一個(gè)老兵夢(mèng)里，神奇號(hào)角聲復(fù)活了?！?/p>
邁克奧蘭的歌詞和莫瑞斯的歌聲好像喚醒了來(lái)自我們集體無(wú)意識(shí)的一個(gè)夢(mèng)，一位在死城中穿越的老兵的夢(mèng)。像死城的概念一樣，集體無(wú)意識(shí)的概念可能就是一個(gè)神話(huà)。曼寧的篇章描繪了這兩個(gè)可能的神秘概念投向彼此的隱晦之光。他將集體無(wú)意識(shí)描述為一種無(wú)理性力量，這種強(qiáng)大的力量將我們拉向死亡和毀滅。死亡之城的原型是自從城市和搶劫軍隊(duì)出現(xiàn)后，幾百座真正被毀滅的城市的痛苦的升華。我們逃離瘋狂的集體無(wú)意識(shí)的唯一方法是基于希望和理性的理智集體意識(shí)。我們今天文明面臨的偉大任務(wù)是創(chuàng)建這樣一個(gè)集體意識(shí)。
（譯者說(shuō)明：在翻譯后本文后，我請(qǐng)一位數(shù)學(xué)家朋友幫助校譯，他推薦了發(fā)表在2010年第一卷《數(shù)學(xué)譯林》上的一篇譯文“飛鳥(niǎo)與青蛙”，文章的譯者是趙振江，校譯是陸柱家。我根據(jù)這篇譯文對(duì)自己的譯文進(jìn)行了校譯，特別是其中的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)部分，特此說(shuō)明。）
