撰文： 顏一清
高斯九歲便能快速算出1到100的總和，十一歲時(shí)便能導(dǎo)出二項(xiàng)定理的一般展開式，并對(duì)無限級(jí)數(shù)的展開頗為熟稔。那么，這樣一位出身貧窮的神童，他是如何一步步成為“數(shù)學(xué)之王”的呢？他如何將自己的數(shù)學(xué)才能應(yīng)用于天文學(xué)的計(jì)算當(dāng)中？在與自己同時(shí)代的數(shù)學(xué)家拉普拉斯、勒讓德、貝瑟爾等人的交往中又發(fā)生過哪些故事？
1850年代的高斯
高斯（1777-1855），出生于德國Brünswick一窮困人家。他從小就有算學(xué)異稟。他的才智受到當(dāng)?shù)谺rünswick[注1]公爵的關(guān)注， 公爵就一直資助他完成大學(xué)教育，取得博士學(xué)位，并出版數(shù)學(xué)巨著《整數(shù)論研考》（Disguisitiones Arithmeticae）[注2]。
高斯年冠十九，就在數(shù)學(xué)上有登峰造極的表現(xiàn)：他突破數(shù)學(xué)史上兩千多年的沉寂，以直尺與圓規(guī)作出正十七邊形的圖形來。而且他維持如此杰出的研究質(zhì)量達(dá)半個(gè)世紀(jì)之久。他的研究范圍廣泛，遍及純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，研究內(nèi)容新穎、深入。這使他成為十九世紀(jì)科學(xué)領(lǐng)域上最突出的人物。他在曲面學(xué)上的研究， 更是導(dǎo)引黎曼創(chuàng)造黎曼幾何學(xué)，并誘發(fā)二十世紀(jì)初愛因斯坦作出一般相對(duì)論來。
高斯就業(yè)以后一直定居在哥廷根（G?ttingen）。他去世后不久，哥廷根地方的領(lǐng)主漢諾威王喬治五世（George V）[注3]為表彰他的豐功偉業(yè)，敕令鑄造一個(gè)七公分直徑的紀(jì)念章贈(zèng)與高斯家族。紀(jì)念章邊緣以拉丁文刻著“Georgius V。 rex Hannoverage Mathematicorum principi”（漢諾威君主喬治五世向數(shù)學(xué)家之王致敬）[注4]。從此，稱呼高斯為“數(shù)學(xué)之王”的名號(hào)不脛而走。
一 身世
Johann Friedrich Carl Gauss（洗禮名，后來他常用Carl Friedrich Gauss） 在1777年4月30日出生于 Brünswick 的一貧窮勞工人家。他的父親叫做Gebhard Dietrich Gauss（1744-1808），母親是 Dorothea Benze（1743.6.18-1839.4.18）。
高斯的祖先姓 Goos，是德國北部V?lkenrode 村的新教徒人家。高斯的祖父 Jürgen Goos 是曾祖父 Heinrich Goos 三次婚姻中最后第二個(gè)兒子，在家他沒有什么份量，只能往外地求發(fā)展。他結(jié)婚后于 1739 年到 Brünswick-Wolfenbüttel 公國的首都 Brünswick 定居，改姓 Gauss。起先由于沒有置產(chǎn)，在當(dāng)時(shí)的同業(yè)工會(huì)的限制下，只能做零工糊口。好不容易貸款購得一所小房子居住了十四年，生育三男一女。后來換房子到 Wilhelm 街30號(hào)。1774年7月5日債未還清，他就因肺病去世。他的妻子早他三個(gè)月故去。長子 Gebhard 一向幫助他父親做工，就由他負(fù)責(zé)償債。不過他也跟弟妹談好，房子歸他繼承，弟妹分得一些現(xiàn)款（借來的）做為補(bǔ)償。這些債 Gebhard 費(fèi)了二十五年才還清。
Gebhard 在1768年與 Dorothea Vernecke 結(jié)婚，第二年1月14日生子Johann Georg Heinrich。1775年9月5日他的妻子因肺病去世。1776年4月25日 Gebhard 與鄰村的 Dorothea Bentze 再婚。1777年4月30日他們?cè)赪ilhelm街30號(hào)的家里生下數(shù)學(xué)天才高斯。高斯是 Dorothea 唯一的孩子。Dorothea 在結(jié)婚前當(dāng)過7年女傭。她沒有正式受過教育，不會(huì)書寫，印刷體字勉強(qiáng)可以念。
Gebhard做過各式各樣的工作，最后十五年他只從事造園業(yè)。由于他會(huì)書寫，也會(huì)計(jì)算，他當(dāng)過一家葬儀社的會(huì)計(jì)。
高斯曾經(jīng)向他的再婚對(duì)象 Minna Waldeck 描述過他父母親：“父親是一位老實(shí)、忠厚的人，在外頭他得別人的尊敬。但是在家里他是個(gè)暴君。好在我很早就不用依靠他，彼此間的沖突較少。母親個(gè)性堅(jiān)強(qiáng)、明朗、善良又聰明。在我與父親有沖突的時(shí)候，她很袒護(hù)我。我很敬愛她?！?/p>
高斯的外祖父是位石工，因工作使然的空氣污染，30歲便得癆病去世了。高斯有一位舅父 Johann Friedrich，他自學(xué)成精巧的織緞人才。這位舅舅與高斯很親，他常會(huì)講一些話引起高斯的好奇心，他覺得高斯好聰明。當(dāng)他在1809年去世時(shí)高斯悲嘆：“一位生就的天才過去了?！睆母改赣H的祖先來看，他們都是一些農(nóng)工階級(jí)的人，子孫能出高斯這樣的神童可是個(gè)異數(shù)。
二 幼少年時(shí)代
有關(guān)高斯小時(shí)候的故事都是高斯晚年向追隨他的人們說的。他記性好極，而且重復(fù)敘述中并無出入的情形，所以他的話可信度大。
高斯很小的時(shí)候家門前有一條濠溝（后來圍起來）直通 Ocker 河。春天一到，濠溝里漲滿了水。有一次小高斯在溝邊玩耍時(shí)掉進(jìn)溝里，在他溺斃前被路過的工人救起，逃過一劫。
在夏天 Gebhard Gauss 是一家磚瓦工廠的督工，到星期六得給工人們發(fā)薪。有一回他要發(fā)薪，3歲的小高斯站起來：“爸爸，算錯(cuò)了?！痹诒娙四康煽诖糁轮厮愕慕Y(jié)果證實(shí)小高斯是對(duì)的。
高斯7歲時(shí)進(jìn) St。 Cathrine 小學(xué)。老師是 J。 B。 Büttner。班上有百來個(gè)學(xué)生。老師在屋頂?shù)汀⒌匕灏纪共黄降慕淌依锬弥拮觼砘刈邉?dòng)。鞭子是老師教、懲兩用的。高斯在這樣的環(huán)境下平安無事過了兩年。在高斯九歲左右時(shí)，Büttner在算術(shù)課上要學(xué)生們“寫出1到100的數(shù)字來，并求出它們的總和”。寫好的同學(xué)把運(yùn)算用的石盤（當(dāng)時(shí)紙張還是奢侈品）翻下放在老師桌子上。再來交的同學(xué)依次疊上石板。老師想，出這樣的考題他可以清靜一下了吧。沒想到高斯一下子就把石盤拿去老師桌上放了，說：“我交了。（Brünswick 土語， Liggest se！，英譯：there it lies）”其他小朋友汗流夾背地忙著運(yùn)算。高斯靜坐著，不理會(huì)老師奇怪的眼神。結(jié)果大部分的小朋友都錯(cuò)了，因而挨了打。高斯的石盤只見5050 這個(gè)數(shù)字。他給老師的解釋是：1 + 100 = 101， 2 + 99 = 101， …， 50 + 51 = 101。所以 1 + 100等于有50對(duì)101，答案便是 5050 。
這件事的發(fā)生有它象征性的意義。終其一生高斯做出來的結(jié)果都是簡潔而正確的。但是眾人須要它有詳盡的解釋。
高斯的親戚們聽到到這件事后直搖頭。因?yàn)橐罁?jù)俗語，神會(huì)讓他寵受的人夭折，這孩子的壽命恐怕不長。
老師Büttner經(jīng)歷這件事后覺得他再也沒有什么可教給高斯了。于是特地從漢堡為高斯買一些好的算學(xué)書如 Remer 著《Arithmetica》（在扉頁上有高斯的簽名及1786年12月6日字樣），或 Hemeling 的《小算術(shù)計(jì)算書》。這兩本書都有被頻繁使用過的痕跡與許多小孩子計(jì)算的字跡。
Büttner有一位助手 Martin Bartels（1769-1836）。他的工作是替小朋友削鵝毛筆，改正他們的書寫等。他是白鉛細(xì)工匠的兒子，住在高斯家附近?？赡苁?Büttner 或是 Bartels 跟高斯的父親 Gobhord 商量過高斯往后的教育問題。做父親的認(rèn)為高斯與異母兄 Georg 一樣，將來走定他自己的路子：當(dāng)工人。他哪有錢供兒子念書呢？對(duì)方可能找得到高貴人士出資給高斯讀書。從此頑固的父親在晚上不再要高斯織一定量的亞麻絲，甚至把紡車帶到后院劈成塊，當(dāng)柴燒了。取而代之的是 Bartels 與高斯常在一起挑燈夜讀。他們交成好朋友。Burtels 1788年后又去讀書，專攻數(shù)學(xué)，后來成為 Kasan 大學(xué)的教授。
高斯在11時(shí)便能導(dǎo)出二項(xiàng)定理的一般展開式，并對(duì)無限級(jí)數(shù)的展開很熟稔。于是神童高斯的名字傳遍 Brünswick。
在1788年經(jīng)由Büttner或Bartels 說服不情愿的父親，高斯終于進(jìn)入 Brünswick 的預(yù)科學(xué)校 Katharineum。在那兒學(xué)生的年齡相若。高斯早些時(shí)的地方德語也改正成官方德語了。數(shù)學(xué)老師 Helling 第一次看過高斯交的作業(yè)便批示，這么優(yōu)異的學(xué)生用不著再來上他的課。高斯在那個(gè)時(shí)期又得到年長朋友 Bartels 與 J。 H。 J。 Meyerho?（1770-1812）的幫助自學(xué)拉丁語與希臘語。這些古代語言對(duì)念古典書籍是必需的。
有一天高斯看書看迷了，走進(jìn) Brünswick 公爵的御花園而不自覺。倒是公爵夫人看到了他，夫人訝異那么一個(gè)小孩難道看得懂他拿著的書？一問之下才知道真的看得懂。改天她叫仆人找高斯過來給公爵看。公爵發(fā)現(xiàn)這個(gè)內(nèi)向、拘謹(jǐn)?shù)?4歲小孩的確很聰明。
Bartels在1788年進(jìn)入Brünswick的Caroline高等學(xué)校，認(rèn)識(shí)了那里的數(shù)學(xué)教授 E。 A。 W。 Zimmermann（1743-1815）。Zimmermann還兼 Brünswick 公國參事，跟公爵交誼很深。Barters介紹高斯給Zimmermann。后者便與 Brünswick公爵討論高斯這個(gè)小孩。終于在1791年公爵引見高斯，并決定當(dāng)年6月起給高斯10個(gè) thaler （德國舊銀幣）的年金外加一些其他用費(fèi)。他還獲得一些書本做獎(jiǎng)賞，其中有一本是 Schulze 的《對(duì)數(shù)表》。高斯常常使用它，還簽上“Gauss， 1791”。
當(dāng)時(shí)有習(xí)俗，貴族或是有錢的商人會(huì)資助家境貧困人家的資優(yōu)子弟讀書，以備將來他們用材之需。
高斯既然得到 Brünswick 公爵的年金念書，做父親的 Gobhard 再也沒有理由反對(duì)他升學(xué)了。
1792年2月18日至1795年間高斯在 Caroline 高等學(xué)校學(xué)習(xí)。這所學(xué)校在當(dāng)時(shí)是德國最佳學(xué)府之一。學(xué)校的學(xué)科新穎，教授優(yōu)秀，圖書典藏豐富。它的教學(xué)構(gòu)想除了因應(yīng)生活的實(shí)際需要外還教育學(xué)生們成為新文化的舵手，并著力培育學(xué)生們成為有自由思想與高貴情操的人。從德國的這一類學(xué)校，十八、九世紀(jì)人材輩出。
跟高斯一樣是窮人家的孩子而得到資助進(jìn)入這所學(xué)校的人當(dāng)時(shí)有Bartels、K。 Ide（與高斯同行，早逝）、Meyerho?（訂正高斯在《Disquisitiones Arithmeticae》中的拉丁文）等人。
高斯在 Caroline 高等學(xué)校期間讀了許多古典文學(xué)名著，因此他的文學(xué)素養(yǎng)很好。他念的數(shù)學(xué)名著有歐拉、拉格朗日與牛頓等人的著書。終其一生高斯對(duì)牛頓非常尊崇。在著述方面他也學(xué)習(xí)牛頓的作風(fēng)。[1]
這時(shí)候法國大革命（1789年）已然發(fā)生，但是在拿破侖揮兵攻打鄰國以前，德國的一切情況還沉睡在十七世紀(jì)以來的半封建制度里。[2]
很小高斯就喜愛做數(shù)字游戲。他算得又快又好。在1792-1793年間高斯做質(zhì)數(shù)分布的研究。他把整數(shù)以千為等級(jí)找出其間所含的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)。按照亞歷山大時(shí)代的埃拉托斯特尼（276-194 B.C。），整數(shù) p 所含質(zhì)數(shù)不大于√p，并由篩選法可求得質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)。而高斯則由觀察得出質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)的增加率 D（n）=π（n）? π（n ? 1000）（π（n）： 2至n間質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)，n ≥ 1000）與
成正比。因此由幾何圖形來看，
π（x），
。高斯也想過
的情形，但認(rèn)為后者的表達(dá)方式雖然比較簡單，誤差卻比較大。高斯在那時(shí)候又得到另一本對(duì)數(shù)表，是瑞士 Johann Lambert 寫的。再加上他自己的運(yùn)算（他對(duì)對(duì)數(shù)熟稔得很）。這樣才獲得上述的結(jié)果來。往后他還常“對(duì)數(shù)中有詩情”呢！但他并沒有發(fā)表質(zhì)數(shù)分布的結(jié)果。
1798年法國大數(shù)學(xué)家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）發(fā)表了較準(zhǔn)確的質(zhì)數(shù)分布公式：
，
。命運(yùn)的作弄使得往后高斯與勒讓德所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容常出現(xiàn)交錯(cuò)在一起的情形。
三
大學(xué)時(shí)代
高斯并沒有順從 Brünswick 公爵的意思選讀公爵領(lǐng)地的赫爾姆施泰特（Helmstedt）大學(xué)，而打算赴 Brünswick 約65里以南的哥廷根大學(xué)就讀，公爵還是答應(yīng)了。
哥廷根大學(xué)在 1737 年由英王兼漢諾威大公喬治二世（George II）創(chuàng)辦，故這所大學(xué)又以英王的名字 George Augusta 稱呼。它的模式仿照牛津大學(xué)與劍橋大學(xué)，比其他德國大學(xué)有較好的環(huán)境與條件，也比較不受政府與教會(huì)的干預(yù)。高斯喜歡那里的學(xué)術(shù)自由的風(fēng)氣與豐富的館藏，所以選擇去那兒念大學(xué)。
高斯在1795年10月5日注冊(cè)，成為哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生，這時(shí)候他擁有年金158 thaler 與伙食費(fèi)。他對(duì)將來的出路感到彷徨。語文與數(shù)學(xué)都是他喜愛的，而學(xué)語文以后出路較好。
在大學(xué)第一年他借的書有25本。其中20本是文科的書，只有5本是數(shù)學(xué)書。
1796年3月30日是高斯生涯中決定性的一天。從這一天起，他開始寫那出名的科學(xué)日記。他把他的發(fā)現(xiàn)依次記載到1814年7月9日[日記在 1898 年從高斯在德國唯一 （也是唯一他見過）的孫子Carl August在Hamlin的家中找出]。3月30日的日記用拉丁文寫著：
“等分圓周的原理以及用幾何方法十七等分圓分等等。
3月30日，Brünswick”
據(jù)說從這一天開始他決定從事數(shù)學(xué)的研究，而語文成為他終生喜愛學(xué)習(xí)的一個(gè)嗜好。
高斯對(duì)發(fā)現(xiàn)正十七邊形的幾何作法的記載是：“在Brünswick家里的一個(gè)假日，我思考
的諸根之間的算術(shù)關(guān)系。隔日早上還沒有起床，我已經(jīng)很清晰地看到我需要的關(guān)系式。我就立刻把它應(yīng)用在正17邊形上。計(jì)算的結(jié)果證實(shí)這個(gè)方法是對(duì)的?！?/p>
1796年6月1日的《一般學(xué)藝新聞》中有高斯的告示：
一般的幾何初學(xué)者都知道怎樣作出正多邊形，如等邊三角形、正五邊形、正十五邊形或是把它們的邊數(shù)加倍的正多邊形。在歐幾里得的時(shí)代大家就已經(jīng)可以做到這些了。而從那時(shí)候起大家認(rèn)為初等幾何學(xué)終止在這個(gè)地步。至少我不知道有人成功地邁出那個(gè)界線。
因此我的新發(fā)現(xiàn)有特別的意義。我發(fā)現(xiàn)不只是上述那些正多邊形，還有更多的正多邊形可用幾何法（只使用直尺與圓規(guī)）作出。作正十七邊形的方法只是一個(gè)包括更多內(nèi)容的定理的特例而已。我還沒有完全證出這個(gè)發(fā)現(xiàn)，等到完成后我會(huì)公開它。
——哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)研究學(xué)生 C。 F。 Gauss
這是高斯一生中僅有的一次預(yù)告他的發(fā)現(xiàn)。后來“等分圓周”出現(xiàn)在高斯巨著《整數(shù)論研考》的第七章，正十七邊形的頂點(diǎn)求法成為這一章的一個(gè)例子。這本書因經(jīng)費(fèi)與出版商的問題遲延到1801年9月29日才出版，一出版就被搶購一空，造成一時(shí)的轟動(dòng)。
1891年1月6日高斯從哥廷根給他的學(xué)生兼朋友 Gerling 信， 說研究“整數(shù)論研究”所帶給他的喜悅是他研究數(shù)學(xué)當(dāng)中至高無上的。即使多美的天文學(xué)上的發(fā)現(xiàn)所帶給他的喜樂都無法與它相比。信中他給 Gerling 簡述正十七邊形的求法：
高斯好得意作出正十七邊形來。他對(duì)大學(xué)時(shí)代的好友 Wolfgang von Bolyai（1775-1856）[注5]說，以后他的墓碑上就刻上正十七邊形好了。（模仿阿基米德。阿基米德很中意他所求得的球體與其外切圓柱的體積與表面積及它們的比例2： 3。結(jié)果他的墓碑上就刻著一球及其外切圓柱。多年后羅馬雄辯家西塞羅做西西里長官時(shí)，在荒蕪中憑這個(gè)墓碑找出阿基米德的墳?zāi)?，修?fù)了它。）[5]。
Bolyai是匈牙利 Transylvania 地方的貴族，晚高斯一年進(jìn)哥廷根大學(xué)哲學(xué)部門。他與高斯初次在天文學(xué)教授 Sey?er 家碰面。Bolyai 對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)有興趣，便毫無忌憚地談?wù)摂?shù)學(xué)，就這樣引起高斯對(duì)他的興趣。再下一次巧遇時(shí)他們便結(jié)為好朋友了。高斯工作累了，就去 Bolyai 居處休憩而往往不先發(fā)言，甚至于不講話。只有一次他顯得很開心，那是他作出正十七邊形的時(shí)候。他給 Bolyai 他算出正十七邊形的筆記當(dāng)做紀(jì)念。他們也交換煙斗，每天在一定時(shí)間抽煙斗來想念對(duì)方（在高斯去世后，Bolyai 將這些東西寄去哥廷根大學(xué)留存）[6]。
高斯也帶 Bolyai 徒步到 Brünswick 拜訪高斯的雙親。當(dāng)高斯離席時(shí)母親 Dorotea 問 Bolyai 她兒子能否成器？當(dāng)Bolyai告訴她“他是歐洲第一等的數(shù)學(xué)家呢！”時(shí)，Dorotea聽得熱淚盈眶。
1798年9月28日高斯學(xué)成（沒有等到拿博士學(xué)位）回 Brünswick。行前他跟 Bolyai 相約一年后由 Bolyar 定出時(shí)間及地點(diǎn)再見一次面。他們約在1799年5月25日星期六在哥廷根與 Brünswick 中途的 Claustal 村見面。兩人徒步同時(shí)到達(dá)那兒，一起攀登一座小山。在山麓上的小酒店兩人含淚握手道別。他們通信到高斯去世前兩年，但一直沒有機(jī)會(huì)再見到對(duì)方。Bolyai 是高斯大學(xué)時(shí)代沉思、歡樂與共的朋友。此后高斯再也沒有向其他朋友那么坦誠告白他的心思了。
1840年 Bolyai 在他的回憶錄中記述：“……我認(rèn)識(shí)了高斯，他那時(shí)候是哥廷根大學(xué)的學(xué)生。我們一直都有友善的接觸。我從來不跟他相比。他很謙虛，也不夸示。我們幾年在一起，我都沒有看出他的偉大。很可惜，我不懂得打開這一本無言、無題的書本來翻。我不知道他懂得多少，他倒看清楚我，但高估了我，不認(rèn)為我有多渺小。我們分享對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛與對(duì)道德的信念。我們時(shí)常在一起散步，各自浸淫在自己的思考中，幾個(gè)小時(shí)不交談一言。”
高斯在哥廷根大學(xué)雖然念數(shù)學(xué)，可與天文學(xué)教授 Sey?er 熟悉，過后也一直有書信往來。他也喜歡物理學(xué)家 Lichtenberg、語言學(xué)家 Heyne（非詩人 Heyne），但不喜歡數(shù)學(xué)教授 W。K?stner。
四《整數(shù)論研考》的問世
1998年9月底回到Brünswick后，高斯前途未卜。但他不再回父母親家而租屋在 Wenden 街。他寫信給 Bolyai，期盼公爵能在經(jīng)濟(jì)上繼續(xù)支持他到找到工作為止。他也找過工作，但都失去機(jī)會(huì)。
當(dāng)年10月他到赫爾姆施泰特大學(xué)，使用那里的圖書。館長善待他，數(shù)學(xué)教授 J。 F。 Pfa?（1765-1825）也對(duì)他很友好。他在忙著完成《Disguisitiones Arithmeticae》（編注：整數(shù)論研考，也譯作算術(shù)研究）這本書。11月時(shí)他已訂正第五章四次，第七章基本上完成了，第八章還得花好多時(shí)間。12月中旬公爵答應(yīng)繼續(xù)給高斯年金158 thaler。在這以前年金遲遲未發(fā)下，高斯以借貸度日。公爵沒有立即允諾繼續(xù)給高斯年金有他個(gè)人的理由：他的父親揮霍過度，使國庫干枯，幾近破產(chǎn)。公爵想了法子，才挽救了這個(gè)局面。
公爵要求高斯拿博士學(xué)位。高斯本來打算交給赫爾姆施泰特大學(xué)《Disqusitiones Arithmeticae》做為博士論文，但是印刷情況緩慢，高斯寫的份量又越來越多，印刷費(fèi)可觀，超出預(yù)算。因此，高斯打住出版第八章的念頭。在1977年4月高斯打算另交博士論文，選題為“代數(shù)學(xué)的基本定理”。5月他完成它交給 赫爾姆施泰特大學(xué)當(dāng)局。這是高斯做的有關(guān)“代數(shù)學(xué)的基本定理”第一次證明。此后他又用另一些方式給了它三次證明。
這時(shí)候他開始展現(xiàn)大學(xué)時(shí)代天文學(xué)教授 Sey?er 給他培養(yǎng)出來的興趣：天文學(xué)。4月間他做出計(jì)算視差的公式來。他也研究算術(shù)幾何平均數(shù)（arithmetico-geometric mean）、雙紐線（lemniscate）與三角函數(shù)間的關(guān)系。
1799年7月16日高斯在赫爾姆施泰特大學(xué)無口試獲得博士學(xué)位。公爵替他支付一切所需費(fèi)用。
1799年12月高斯住在 Pfa?家繼續(xù)作他的研究。Pfa?家人一天之間只能見到高斯兩三個(gè)小時(shí)。Pfa?為高斯的健康著想，會(huì)帶他出去走走，談?wù)勌臁?/p>
當(dāng)年12月23日高斯發(fā)現(xiàn)算術(shù)幾何平均數(shù) M （a， b）與第一階橢圓函數(shù)有如下的關(guān)系 ：
12月16日高斯給好朋友 Bolyai 信告訴他近況，還要他切記除夕（到那一天信應(yīng)該已經(jīng)到達(dá)）子夜那18世紀(jì)的最后一剎那。對(duì)高斯來說，它將是一個(gè)特別神圣的時(shí)刻：在那一瞬時(shí)，塵世會(huì)從他眼前消失不見，他的人會(huì)升華成純凈的靈魂，體會(huì)出莫大的生之喜悅。
1800年高斯的時(shí)間就花在《Disquisitiones Arithmeticaes》的完成，印刷與橢圓函數(shù)上。他住在赫爾姆施泰特到1800年的復(fù)活節(jié)。他終于決定不在《Disquisitiones Arithmeticaes》加第八章以節(jié)省印刷費(fèi)。即使這樣公爵還追加費(fèi)用才付得清一切開支。
他又繼續(xù)作橢圓函數(shù)的研究，也發(fā)表計(jì)算復(fù)活節(jié)日期的公式。據(jù)說高斯的母親不記得高斯的生日，只曉得他在耶穌升天節(jié)前八天的星期三出生。高斯作出算式才推算出他的生日來。
1801年9月29日《Disquisitiones Arithmeticaes》終于出版了，費(fèi)用全由公爵支付，書一下子被賣光，行家激賞。
在書的序文中高斯把這本書呈現(xiàn)給Brünswick公爵，文辭中充滿謝意。他寫：“倘若沒有公爵您的支持，我無法毫無牽掛地從事生就心儀的數(shù)學(xué)研究達(dá)數(shù)年之久。沒有您的雅量與支撐，我就無法除去遲緩出版這本書所遭遇到的所有障礙……” 公爵的名字因這篇序文而永存。
《Disquisitiones Arithmeticaes》以拉丁文寫成，而高斯為求文筆的流暢還請(qǐng)他的朋友，拉丁文專家 Meyerhoff 改正。這本書被稱為“有七個(gè)封印的書”，意即由七章所成的艱深、難讀的書，連專家都不容易看懂。書中那簡潔的綜合性證明所蘊(yùn)涵的寶藏經(jīng)由他的后進(jìn)狄利克雷（P。 G。 Lejeune Dirichlet，1805-1859）及后來的克萊因（Felix Klein，1849-1925）[4]等人的解，眾人才能得以分享。
這本書的前三章處理二項(xiàng)同余式理論。第四章展開同余式平方剩余的理論。第五章討論二元二次形式，并發(fā)展成三元二次形式的理論。第六章討論第五章的特殊情形，第七章被視為書中的精華。高斯使用二項(xiàng)同余式理論來解代數(shù)方程式 xn=1，n∈N。從而應(yīng)用在n等分圓周及正n多邊形的作圖上。[7]
高斯晚年說：“《Disquisitiones Arithmeticaes》已經(jīng)成為歷史性的著作了?！彼脑捠菍?duì)的。
此后高斯投入天文學(xué)、物理學(xué)等的研究，一直到晚年才全神回到數(shù)學(xué)的研究上來。
五 投入天文學(xué)的研究
1800年代在天文學(xué)上是進(jìn)展迅速的一個(gè)時(shí)期。觀測(cè)天文學(xué)在技術(shù)與儀器上都有長足進(jìn)步。而天象圖是由有系統(tǒng)的觀測(cè)資料編纂而成的。在理論天文學(xué)方面，天王星在1781年被發(fā)現(xiàn)（海王星在1846年，冥王星遲至1930年才被發(fā)現(xiàn)）。這對(duì)計(jì)算星座的擾動(dòng)（Perturbation）的準(zhǔn)確性很有幫助。
1801年是高斯劃時(shí)代的一年。過后他回想起來，覺得有那么多科學(xué)真理涌現(xiàn)在他腦海中，使他無法抵擋。
1801年元旦意大利天文學(xué)家G。 Piazzi（1746-1826）在巴勒莫發(fā)現(xiàn)一顆小彗星Ceres（谷神星），它不帶尾巴，也沒有外被（envelope）。一直到2月11日他才觀測(cè)到 Ceres 的軌道9°，過后它就在太陽陰影下不見了。依據(jù)“波得法則”（Bode‘s law），這個(gè)星應(yīng)該存在，并在1801年底或1802年初再出現(xiàn)。于是歐洲的天文學(xué)家們忙著算出Ceres再出現(xiàn)的軌道。而他們所能根據(jù)的是Piazzi 發(fā)表在德國的《天文月刊》9月號(hào)上的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)。
高斯在當(dāng)年的9月29日才出版《Disquisitiones Arithmeticaes》，但是這個(gè)訊息立刻引起他的興趣。Piazzi雖然前后觀測(cè)了41天?？梢仓挥腥斓挠^測(cè)數(shù)值。在高斯的日記第119、第120項(xiàng)（1801年9月與10月）里，高斯記下他開始算 Ceres 的軌道。高斯想，必定有一個(gè)橢圓軌道適合 Piazzi 給的數(shù)據(jù)。這問題便是：天空上有兩個(gè)星，地球與 Ceres 在各以太陽為一焦點(diǎn)的 C1與C2二橢圓上運(yùn)行（開普勒第一定律）。而地球的軌道C1已知，并有三條空間直線（觀測(cè)線）發(fā)自C1至C2。兩直線間的C2弧已知，要求出C2曲線。[8]
1801年11月高斯完全解決了這個(gè)問題，就跟眾多天文學(xué)家們一樣，他把結(jié)果發(fā)表在《天文月刊》上。德國 Seeberg 觀測(cè)臺(tái)長兼《天文月刊》編輯 F。 X。 G。 von Zach（1754-1832）根據(jù)高斯發(fā)表的軌道，在1801年12月31日至1802年1月1日看到 Ceres。1802年1月1日，不來梅的 H.W。 M。 Olbers （1758-1840） 也在高斯預(yù)測(cè)的軌道上看到 Ceres。由此天文學(xué)家們?yōu)?Ceres 的再現(xiàn)狂喜不已。同時(shí)高斯的名聲傳遍了全世界。大家認(rèn)為他是第一流的理論天文學(xué)家。早先高斯在天文學(xué)界默默無名。他沒有天文學(xué)家該具備的儀器，甚至于連望遠(yuǎn)鏡也沒有。但是這位數(shù)學(xué)天才單憑三次數(shù)據(jù)就正確地算出消失不見的彗星的軌道出來。
高斯在1802年1月18日寫信給Olbers 問他觀測(cè) Ceres 的結(jié)果。這是他們間友誼的開始。Olbers是一位成功的開業(yè)醫(yī)生兼杰出的業(yè)余天文學(xué)家。他看病人到晚上十點(diǎn)，過后在家里屋頂上的觀測(cè)站看天象。據(jù)說他每天的睡眠時(shí)間不超過四小時(shí)。當(dāng)時(shí)德國的天文學(xué)家們很喜歡圍繞在 Olbers 的身邊。他是他們的原動(dòng)力，而且從他的觀測(cè)站可能可以獲得一些新的觀測(cè)數(shù)據(jù)，如果他們憑那些數(shù)據(jù)有新發(fā)現(xiàn)，則可以名垂不朽呢。
1802年Olbers在Ceres近旁發(fā)現(xiàn)一新星叫 Pallas。1804年 Ludwig Harding發(fā)現(xiàn)一星叫 Juno。這些星的軌道當(dāng)然全權(quán)委托高斯來計(jì)算了。高斯一個(gè)小時(shí)可以算出一個(gè)彗星的軌道來，而歐拉用古老法則須花上整整三天時(shí)間。
1801年夏圣彼得保大學(xué)想聘請(qǐng)Ziemann。Brünswick 公爵為了留住他，升任他為樞密顧問官，并讓他辭卸 Catharine 高等學(xué)校的教職。這個(gè)缺本來高斯有望，但是后來由高斯先前的老師、博物學(xué)家 Hellwig 繼任。公爵可也要留任高斯，就把他的年金升為400 thaler，酬庸他寫出《Disquisitiones Arithmeticae》。高斯聽到這個(gè)消息后不禁叫出：“可是我都還沒有為這個(gè)國家做任何事??！”他便自費(fèi)買了一個(gè)六分儀，提供 Brünswick 的人們使用。
高斯被全世界公認(rèn)為名人的事實(shí)是，給他的贈(zèng)與紛至沓來。1802年1月31日他被聘任為圣彼得堡科學(xué)院外國通訊會(huì)員。同年9月5日又有邀約請(qǐng)高斯當(dāng)圣彼得堡天文臺(tái)長。高斯在猶疑中。Olbers 聽到消息后為了要留住高斯在德國境內(nèi)，他動(dòng)用他的關(guān)系，想讓高斯當(dāng)將建立的哥廷根天文臺(tái)的臺(tái)長。而公爵的反應(yīng)是，又增加了高斯的年金。高斯覺得這樣很好，他沒有固定官職，但能正式為公爵工作。這樣的地位適合他的嗜好與需要。
1803年6月2日高斯給 Bolyai 信，信中說天文學(xué)與純粹數(shù)學(xué)是他心中的羅盤指針經(jīng)常指向的兩極。
六 結(jié)婚
高斯的母親結(jié)婚前在鞣皮工場主 Ritter 家?guī)蛡?。高斯出生?Ritter 家兩個(gè)男主人當(dāng)他的教父。因此高斯小時(shí)候常常去 Ritter 家玩。圣誕節(jié)時(shí)那里一定有一份 高斯的禮物。從哥廷根回來后，高斯有機(jī)會(huì)就往 Ritter 家走動(dòng)。他享受那里的 Brünswick 中產(chǎn)階級(jí)家庭中和諧的氣氛。在那里，高斯與 Johanna Ostho?（1780.5.8-1809.10.11）認(rèn)識(shí)了。她是另一名鞣皮工場主 Ostho?家唯一的孩子。她長得柔美，性情明朗、可親又明事理，也受了一些教育。
1804年6月28日高斯給 Bolyai 信說，他認(rèn)識(shí)了一位他渴望成為終身伴侶的美好女子近一年。她美麗的面容猶如圣母般，顯現(xiàn)出身心的平和。她個(gè)性活潑，快活而且謙和。尤其重要的是，她有天使般的愛心。1804年7月2日高斯給Johanna求婚信。信中他說他的將來姑且不談，目前他擁有的足夠兩個(gè)年輕人不操勞地快樂過日子，他所能夠提供給她的是他那一顆溫暖、充滿著愛的心。
對(duì)高斯的信Johanna拖了三個(gè)月沒有回答。高斯的名氣太大，態(tài)度高不可攀等使她著實(shí)猶疑了一陣子。高斯不解Johanna的沉默。不過當(dāng)時(shí)的政局開始讓他分心，而且不安起來。那時(shí)候拿破侖已攻破德國南方諸邦，開始以他的方式分割德國境內(nèi)一些小國。高斯雖然依附Brünswick 公爵，拿年金過日子，但是將來的變數(shù)蠻多。
Johanna 終于答應(yīng)了高斯的求婚，他們?cè)?804年11月22日訂婚了。
訂婚后三天，高斯?jié)M懷喜悅地給 Bolyai 寫信說，他三天前訂婚了。如今人生在他眼前彷佛是永恒的春天般充滿著光彩。他并勸 Bolyai 也做做實(shí)地天文學(xué)，它僅次于在這人世間他所能嘗到的甜美，又充滿喜悅的純數(shù)學(xué)真理的研究。
1805年10月9日，高斯與Johanna在 St。 Catarina教堂結(jié)婚，住在 Ritter 家所擁有的房子 Steinweg 22號(hào)。高斯單身時(shí)也住在那兒。
在Olbers那里高斯認(rèn)識(shí)了貝瑟爾（Friedrich Willhelm Bessel，1784-1864）。當(dāng)時(shí)貝瑟爾年方20，在不來梅一家商業(yè)機(jī)構(gòu)做事。由于他喜歡天文學(xué)，也就結(jié)識(shí)了Olbers。后來貝瑟爾成為實(shí)驗(yàn)與理論雙方面都是第一流的天文學(xué)家。高斯雖然跟 Olbers 有深交，但是往后對(duì) Olbers下的冷峻評(píng)語是：“Olbers在天文學(xué)方面著實(shí)做了很大的貢獻(xiàn)。但是他最大的貢獻(xiàn)在于適時(shí)發(fā)現(xiàn)了貝瑟爾在天文學(xué)上的才能，而為科學(xué)栽培了他?！?/p>
Olbers介紹貝瑟爾給高斯為的是要貝瑟爾替高斯分析觀測(cè)數(shù)據(jù)。他們初次見面較晚，但高斯給貝瑟爾深刻印象，高斯給貝瑟爾的《Disquisitiones Arithmeticae》這本書，貝瑟爾愛不舍手，磨損后又重新裝訂。貝瑟爾終其一生認(rèn)高斯為師。而高斯也給貝瑟爾最好的評(píng)價(jià)。兩人之間從此有42年（中間間斷過一陣）的書信往來。這些內(nèi)容是研究高斯最有科學(xué)價(jià)值的數(shù)據(jù)。
1806年8月21日高斯喜獲一子。高斯為紀(jì)念 Ceres 發(fā)現(xiàn)者 Piazzi，以 Piazzi 的名字Joseph命名長子。
高斯與家人在 Brünswick 平靜地過日子，但當(dāng)時(shí)政局越來越不妙了。拿破侖在鞏固他的地盤，而普魯士與奧地利沒有防衛(wèi)法國的一致性看法，形勢(shì)看來很險(xiǎn)惡。于是普魯士注意到同盟國的俄羅斯，便在1806年1月30日派Brünswick公爵為特使往圣彼得堡商討聯(lián)合攻防法國事宜，但沒有獲得結(jié)果。倒是圣彼得堡許多人士問公爵有關(guān)高斯的事，并請(qǐng)他放人，讓高斯接受他們的邀請(qǐng)。
當(dāng)3月23日公爵一回國，為了要留住高斯便決定再升高斯的年金為 600thaler， 高斯在他生日當(dāng)天聽到這個(gè)消息。在5月高斯找一天拜訪公爵，表達(dá)謝意。這是他們最后一次的見面。
普魯士為了要阻擋法國勢(shì)力向中歐伸張，在1806年10月發(fā)動(dòng)戰(zhàn)爭，而以年邁七十的Brünswick公爵（他是Fredrick大帝在七年戰(zhàn)爭中的名將）為統(tǒng)帥。戰(zhàn)場由約拿（Jena）戰(zhàn)到奧爾施塔特（Auerstaedt）。在10月14日晨，公爵在發(fā)號(hào)指令時(shí)被敵方的毛瑟槍傷到。彈丸由公爵的右眼上方射進(jìn)，打碎鼻梁；從左眼窩挖出左眼來。受傷的公爵退出戰(zhàn)場。有一小隊(duì)代表團(tuán)派往拿破侖軍營陳情：希望拿破侖以軍人的寬宏大量讓 Brünswick 公爵能在家人圍繞中咽氣。為了避免成為階下囚，瀕死的公爵只有逃亡一途。
那時(shí)候高斯住家在公爵邱邸的正對(duì)面。10月25日清晨高斯被憂郁的馬車聲驚醒。從窗口他看到長形的雙頭馬車載著垂危的公爵像柩車般慢慢地駛往漢堡門。公爵終于在 Altona（漢堡附近的一都市）地方的小旅舍去世。從此，高斯恨透了讓他的恩人遭受到如此下場的拿破侖與法國這個(gè)國家。
早先Brünswick公爵有意在 Brünswick 為高斯建造一座天文臺(tái)，先慷慨解囊讓 高斯購買一座十英尺長的望遠(yuǎn)鏡。它遲遲才安置好，反射鏡經(jīng)過修正研磨后效果好極。但是要建立天文臺(tái)，談何容易！
經(jīng)過Olbers的周旋，在1805年高斯將是建造中的哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長已成定局了。但是1806 年10月的戰(zhàn)爭使本來隸屬漢諾威王國的哥廷根變成為法國勢(shì)力下的威斯特伐利亞（Westphalia）王國，國王是拿破侖小弟Jer?me（他統(tǒng)治不到10年）。
1807年7月25日高斯正式收到哥廷根大學(xué)的聘請(qǐng)。結(jié)果 Collegium Carolium 當(dāng)局因教授指使，來索求高斯使用的望遠(yuǎn)鏡。高斯認(rèn)為望遠(yuǎn)鏡要?dú)w赫爾姆施泰特大學(xué)的Pfa?教授保有才能發(fā)揮那一座望遠(yuǎn)鏡的功能。但是他的意見沒有被采納，這使他怏怏不樂。他就在不快中離開Brünswick。太太 Johnnna 對(duì) Brünswick 百般不舍，因?yàn)樗挠H朋全在那兒。
七 哥廷根時(shí)代的開始
他們一家人在1807年11月21日到達(dá)哥廷根。住進(jìn)舊天文臺(tái)邊的一座老舊房舍。那時(shí)候漢諾威舊政體已經(jīng)瓦解，威斯特伐利亞新政府尚未組成，所以高斯避免了正式向政府作就任宣誓的尷尬場面。
高斯當(dāng)哥廷根天文臺(tái)長兼哥廷根大學(xué)教授都還沒有領(lǐng)到薪水，法國就已經(jīng)向新政府發(fā)令征收戰(zhàn)爭金，而高斯的份是2000法郎。這在當(dāng)時(shí)是一大筆錢。有一天 Olbers 寄來 2000法郎給他。不久拉普拉斯來信，告訴高斯他已經(jīng)在巴黎替高斯付清了這一筆錢。高斯退還了Olbers的錢，至于拉普拉斯，高斯后來加上利息還清了這筆錢。高斯還收到了一筆從美因河畔法蘭克福（Frankfurt am Main）寄來的1000 frolin（德國境的一種舊幣）匿名捐款，這回他收下了。過后他獲悉那是法蘭克福大公為敬佩高斯的功績，從公款挪出的錢。
科學(xué)家兼探險(xiǎn)家洪堡（Alexander von Humbolt，1769-1859）在1804年從南美航海之旅回到巴黎時(shí)聽到法國科學(xué)界對(duì)高斯的一片贊賞聲，使他對(duì)高斯印象深刻。后來他在1807年與高斯認(rèn)識(shí)，并多年致力于羅致高斯到柏林大學(xué)，但最終沒有成功。他與政治家哥哥威廉（Wilhelmvon Humbolt，1767-1835）比高斯更早在哥廷根大學(xué)學(xué)過。三個(gè)人后來成為終生莫逆之交。
1808年2月29日高斯通知他的雙親當(dāng)天Johanna生了一個(gè)女娃，并以發(fā)現(xiàn)Pallas 的 Olbers 的名字命名為 Wilhelmine。大家稱她 Minma。高斯惋惜Minma要在四年中才有一個(gè)生日。同年4月14日高斯的父親去世。
1808到1809年間，舒馬赫（H。 C。 Schumacher，1780-1850）來哥廷根跟高斯學(xué)天文學(xué)。他記下他與高斯的對(duì)話成書，叫做《Gaussiana》。這本書對(duì)后世研究他們兩人很有幫助。他們的交往持續(xù)到舒馬赫去世。兩人的書簡集共六冊(cè)。
1809年9月10日高斯的次子 Louis 誕生。他的名字是為紀(jì)念 Juno 的發(fā)現(xiàn)者A。 L。 Harding，而以 Harding 的名字命名的。Harding從1807年起成為高斯在哥廷根天文臺(tái)的副手。
生 Minna 時(shí)Johanna夫人已經(jīng)是難產(chǎn)，這回生完 Louis 三十一天，在10月11日她便去世了。高斯悲慟已極，寫信給Olbers ：“昨夜八點(diǎn)我蓋上了我的天使的雙眼，在那里，五年來我尋覓到我的天國……”的確他們的婚姻生活非常美滿。高斯給 Bolyai 的信中就有過描述：“我快樂地過著家居生活。當(dāng)小女兒長出一顆牙齒或是小兒子學(xué)到一個(gè)新詞兒，這在家里就像發(fā)現(xiàn)了一顆新星或是新的真理那般重要。”
Johanna的葬禮后高斯出發(fā)到不萊梅找 Olbers，回程去 Altona 找舒馬赫，又去 Brünswick 找故舊尋求慰藉。1927年高斯的孫子Carl在祖父的書堆中找出高斯哀悼亡妻淚痕斑斑的信，信有兩部份，第二部份是在不萊梅寫的，日期是10月25日。第一部份他訴說，本來以為亡妻是他永遠(yuǎn)的伴侶，沒想到她一下子就走了。她一直只以他的快樂為念，并原諒他的錯(cuò)失。但望她的靈魂能永久伴隨他，給他力量，讓他不消沉，好好照料三個(gè)小孩子。第二部份的信中高斯寫他很寂寞。圍繞他的人們讓他暫時(shí)忘卻痛若，但過后悲哀卻變成雙倍來襲擊他。她最后的叮嚀是教他不要被悲傷打垮。但望她的愛與善良能活生生地永留他的心中，能助他有勇氣奮斗下去。
高斯口中“可愛的小 Louis”卻在1810年3月1日猝死，追隨媽媽，走了。
高斯的第二部巨著《在太陽周圍回轉(zhuǎn)成圓錐曲線的天體之運(yùn)動(dòng)論》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibusonicis Solem ambientium）在1809年成書，由當(dāng)時(shí)最著名的出版商 F。 C。 Pertes 印刷。本來他用德文寫，后來聽從 Pertes 的意見，為普及起見寫成拉丁文。內(nèi)容是高斯依據(jù)開普勒的法則，作出圓錐曲線（橢圓與雙曲線；物線不適用）運(yùn)動(dòng)之下的天體軌道計(jì)算方法的完全體系。并從觀測(cè)天體的三個(gè)點(diǎn)決定恒星或彗星軌道的一般方法。書的內(nèi)容終于最小二乘法的解說。
這本書以形式上簡潔，文筆優(yōu)雅、有完美性及獨(dú)創(chuàng)性著稱。當(dāng)時(shí)常有新星出現(xiàn)，天文學(xué)家們不得不借它來計(jì)算星座的軌道，因此出版后有四十年之久它成為天文學(xué)家們必須精通的教科書。所以學(xué)者們對(duì)《運(yùn)動(dòng)論》的評(píng)價(jià)很高，世界各地的學(xué)會(huì)也就爭聘高斯為他們的會(huì)員了。法國科學(xué)院更在1810年贈(zèng)送他 Lalande 獎(jiǎng)[為紀(jì)念法國數(shù)學(xué)家及天文學(xué)家 J。 J。 Le Franc ?aisde Lalande（1732-1807）所設(shè)立的獎(jiǎng)]， 高斯拒受。后來科學(xué)院秘書與 Sophie Germain（1776-1831）動(dòng)用獎(jiǎng)金的一部分買一座天文擺鐘送他，他這才接受，還終生擺設(shè)那一座鐘在他的房間里。
Sophie Germain是法國女?dāng)?shù)學(xué)家，她生在巴黎富裕人家，自修數(shù)學(xué)。她為免受岐視，以 Le Blanc 的男性化名寄出論文，受到拉格朗日（Lagrange，1736-1813）賞識(shí)而出名。她也以Le Blanc 為名在1804年底與高斯通信討論《Disquisitiones Arithmeticae》，給高斯深刻的印象。當(dāng)1807年3月法軍入侵 Brünswick 時(shí)，她怕高斯受到傷害，請(qǐng)法國軍官去問候高斯。到此，她才掀開她的女子身份。她的主要貢獻(xiàn)在于整數(shù)論。她也因彈性表面的數(shù)學(xué)理論獲得法國科學(xué)院的大獎(jiǎng)（Grand Prix）。1837年哥廷根大學(xué)百年慶時(shí)高斯惋惜她已去世，否則她的成就足夠哥廷根大學(xué)贈(zèng)與她榮譽(yù)博士學(xué)位。
高斯并不重視最小二乘法（Least squares），他認(rèn)為許多從事數(shù)值計(jì)算的人自然會(huì)使用到它。他在1794年就知道它。1798年在機(jī)率計(jì)算中用上它，1802年天文學(xué)的運(yùn)算中也用到它。但是勒讓德在1806年正式發(fā)表了最小二乘法的理論（名稱是勒讓德命名的）。勒讓德抗議高斯在1809年的《運(yùn)動(dòng)論》中提及最小二乘法，不過事實(shí)上高斯早在1795年（應(yīng)該是1794年）就發(fā)明了它。后來拉普拉斯當(dāng)他們兩人的仲裁人，裁定勒讓德在發(fā)表上有優(yōu)先權(quán)，但兩人都分別發(fā)明了最小二乘法。勒讓德注定在其他他辛苦鉆研出來的成果上又跟高斯的發(fā)明重復(fù)，如數(shù)論中平方剩余的相互法則、超越函數(shù)以及幾何學(xué)的基礎(chǔ)理論等。
高斯的研究情緒也有低落的時(shí)候。在1807到1810年間，他寫的有關(guān)橢圓函數(shù)的筆記中突然出現(xiàn)一句用細(xì)鉛筆寫的字：“過這樣的日子不如死掉的好?！?/p>
八 再婚
為了要獲得心靈上的寧靜以從事研究工作，并讓孩子們能得到妥善的照顧，高斯很快就想到再婚。他選擇的對(duì)象是 Johanna 夫人在哥廷根的好朋友 Minna Waldeck（1788.4.15-1831.9.12）。她是高斯在哥廷根大學(xué)的同事，法學(xué)教授 Johann Peter Waldeck 的小女兒。她當(dāng)時(shí)剛剛解除與別人的婚約，正意氣消沉的時(shí)候。高斯先得 Minna 雙親的首肯后寫信給Minna。他坦陳在太太去世不到半年就向她求婚一定不會(huì)給人好印象。的確，亡妻的影子一直無法從他心中消失，如今他也只能獻(xiàn)出半顆心來。不過向來亡妻很敬愛 Minna，深信 Minna 很樂意替代亡妻照料高斯和孩子們。但望 Minna 能為她自己熟慮后再做決定。Minna答應(yīng)了婚事。他們?cè)?810年8月10日結(jié)婚。高斯這么快便再婚著實(shí)讓親朋好友大吃一驚。這回高斯邀請(qǐng)他母親從Brünswick過來同住。但是 Minna 是貴族出身，他的母親猶疑到1817年才答應(yīng)下來。
Minna料理家庭，也很愛護(hù)前人留下來的兩個(gè)孩子。這使高斯對(duì) Minna 滿懷感激與謝意。這一次的婚姻也算美滿。Minna并給高斯生了兩男一女：Eugene（1811年7月11日生，三男）， Wilmhelm（1813年10月23日生，四男）與 Therese（1816年6月9日生，次女）。
哥廷根天文臺(tái)的建筑一直拖延下來。直到1810年威斯特伐利亞政府為天文臺(tái)的建造工作做了五年計(jì)劃，打算投入20萬法郎來完成它。
威斯特伐利亞政府并給高斯貴族封號(hào) Ritter von Gauss，來酬勞他學(xué)術(shù)上的貢獻(xiàn)。這一年柏林大學(xué)邀約高斯去教學(xué)，但他與 Minna 結(jié)婚已加深了與哥廷根大學(xué)的關(guān)系，并沒有答應(yīng)這個(gè)邀請(qǐng)。
1811年8月，天空上突然出現(xiàn)一顆閃亮的大彗星。高斯在8月22日黃昏時(shí)分看到它。幾天后他開始觀測(cè)，這時(shí) von Zach 八月初旬的觀測(cè)結(jié)果已經(jīng)到手了。由這些高斯算出這顆大彗星的物線軌道。它再現(xiàn)時(shí)果然在高斯算出的軌道上，并印證他的預(yù)言，亮度增強(qiáng)了。而歐洲的人們則視這顆大彗星為一代霸主拿破侖開始落敗的預(yù)兆。
1812年1月30日高斯在哥廷根皇家科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表超幾何級(jí)數(shù)1+
的論文。這個(gè)級(jí)數(shù)因a，b，c 取特別的數(shù)而可成為二項(xiàng)級(jí)數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等解析學(xué)上很重要的級(jí)數(shù)。高斯是首位對(duì)無限級(jí)數(shù)的收斂性做出研究的數(shù)學(xué)家。
1812年6月底拿破侖率領(lǐng)近45萬大軍攻打俄羅斯而取道德國。之前拉普拉斯向拿破侖提過請(qǐng)他對(duì)哥廷根大學(xué)特別關(guān)照。因?yàn)槟莾鹤≈?dāng)代最頂尖的數(shù)學(xué)家高斯。
這回的戰(zhàn)爭拿破侖吃了癟。俄羅斯軍既不迎戰(zhàn)，也不講和卻一直退卻，并使用堅(jiān)壁清野戰(zhàn)術(shù)。而俄羅斯冰冷的冬天也到了，法國軍又冷又餓，終于在10月19日開始撤退。但一路上俄羅斯軍與德國等同盟軍聯(lián)合起來追擊，法國軍落敗得很慘，回到法國的殘兵只剩下9萬余人。
由拿破侖支持的威斯特伐利亞王國隨著拿破侖的退位（1814年4月6日）在1814 年瓦解。哥廷根又歸屬于漢諾威王國。
此后十年是高斯成果豐碩的時(shí)期。他出了二十?dāng)?shù)篇范圍廣泛的論文，其中有理論及觀測(cè)天文學(xué)、曲面論、整數(shù)論及對(duì)數(shù)的問題等，還給代數(shù)基本定理另兩種證明。
1816年9月17日哥廷根新天文臺(tái)完成了。高斯一家人搬進(jìn)天文臺(tái)邊西翼的宿舍。
九 從事地形測(cè)量的工作
早在1816年6月8日舒馬赫給高斯一信，說丹麥王出資讓他測(cè)量丹麥境內(nèi)（當(dāng)年的丹麥國土包括一部份現(xiàn)今德國領(lǐng)土）的經(jīng)緯線。他問高斯有沒有興趣。高斯在7月5日的信中回答，如果是在漢諾威境他很樂意參加測(cè)量工作，也愿意協(xié)助三角座（主要的三個(gè)地點(diǎn)）的計(jì)算問題。于是舒馬赫運(yùn)用他的關(guān)系，終于在1818年9月由諾威首相正式委任高斯做 Luneburg 地方（過后又?jǐn)U大范圍）的測(cè)量工作。（漢諾威地區(qū)靠近荷蘭邊緣的在拿破侖時(shí)代已測(cè)量過）
高斯不但是名義上的測(cè)量隊(duì)（也有軍隊(duì)參與）主持人，他還實(shí)地參加測(cè)量工作。這是費(fèi)時(shí)又費(fèi)精力的工作。高斯起先沒有想到一投入這個(gè)工作竟持續(xù)了十年之久。這期間夏天他幾乎是在外地過的。他怕熱，天氣燠熱的時(shí)候他很難受。1822年他那當(dāng)炮兵預(yù)備軍官的長子 Joseph 也參與測(cè)量工作，而且做得很好。
1826年后，高斯雖然不參加實(shí)地測(cè)量工作。但是測(cè)量數(shù)據(jù)的整理耗費(fèi)好多時(shí)間：得到野外的測(cè)量數(shù)據(jù)后高斯獨(dú)自投入與測(cè)量有關(guān)的計(jì)算到1848年。這才作成漢諾威王國全域三角化測(cè)量3000個(gè)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)。這些成為描繪漢諾威王國地圖的基本資料。
1823年貝瑟爾看不慣高斯為測(cè)量工作用掉他的精力和時(shí)間，寫信給他：“這些工作次等的數(shù)學(xué)家就可以完成，用不著您去做?！备咚够厮男耪f，的確集世界上所有測(cè)量成果也不值一個(gè)學(xué)問前進(jìn)的定律。但是有時(shí)候我們得以相對(duì)性來判斷價(jià)值。他也不能夠從這實(shí)際上有用的工程抽身。一則他可以做得比別人好，二則他不做，這個(gè)測(cè)量工作便流產(chǎn)了。還有一件事請(qǐng)貝瑟爾保密：自從1810年威斯特伐利亞Jêrome王給他訂薪后他的薪水一直沒有調(diào)整過。為了維持他那一大家子的生活，他樂意得到這一份工作所帶給他的報(bào)酬。
1824年10月底回到家高斯才發(fā)現(xiàn)整個(gè)夏天家里亂七八糟。三個(gè)孩子得了麻疹，后來又傳給已經(jīng)病了兩年的 Minna 夫人，使得她一時(shí)徘徊在生死之間。
亞歷山大·馮·洪堡在當(dāng)時(shí)德國的精密科學(xué)發(fā)展上扮演了很重要的角色。他在普魯士宮廷上很有影響力，又很識(shí)才。他想把魯普士所屬柏林大學(xué)（1810年設(shè)立）變成像巴黎的工技學(xué)院（Ecole Polytechnique）那般出色的學(xué)校。因此他一而再再而三地慫恿高斯去那兒當(dāng)校長，不用教書，只管研究機(jī)構(gòu)就得。漢諾威政府聽到這個(gè)消息后趕緊通知在倫敦的英王。不久國王批示高斯的年薪調(diào)升為2400 thaler。這也跟政府賞識(shí)他的測(cè)量業(yè)績有關(guān)。高斯于是打消了去柏林大學(xué)的意愿。
1821年在野外工作中高斯發(fā)明了回光儀（helitope）。它是配有一個(gè)能旋轉(zhuǎn)的鏡子的光學(xué)儀器，鏡子可使光線朝向一個(gè)固定方向反射，而不受遠(yuǎn)方的玻璃或光亮物等反射的干擾。在三角化工作時(shí)回光儀可以當(dāng)發(fā)光的目標(biāo)物，也可以做為光的通訊。因?yàn)閺乃?、五英里外看它有一二?jí)星的亮度。
在三角化地面的實(shí)際工作中對(duì)曲面有了了解，高斯于是在1827年發(fā)表了有關(guān)曲面的論文。他把曲面以參數(shù)式表示，并討論曲面本身具有的性質(zhì)（intrinsic property），如高斯曲率 K 在保長變換下不變等性質(zhì)。
后來高斯的學(xué)生黎曼（ Berhard Riemann，1826-1866）把高斯的曲面理論發(fā)揚(yáng)光大，成為黎曼幾何學(xué)。愛因斯坦就使用黎曼幾何學(xué)才發(fā)明了一般相對(duì)論。
注釋
[注1] 當(dāng)時(shí)的德國尚未統(tǒng)一，德國境內(nèi)由三十九個(gè)有主權(quán)的小王國、小公國等所組成。
[注2]《Disquisitiones Arithmeticae》這一本書的七章內(nèi)容從來沒有被超越過，沒有被補(bǔ)充過，也沒有被發(fā)現(xiàn)有任何的錯(cuò)誤。高斯去世后《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章（處理高次同余式）被找出來。它是高斯早年因考慮出版經(jīng)費(fèi)太龐大而被割愛的。在收錄 《高斯全集》時(shí)它被放在第一冊(cè)中，成為《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章，等于成全了高斯早年的意愿。
[注3] 英國在1688-1689年的光榮革命時(shí)英王 James II 及他信奉天主教的兒子被逐出國外。1701年英國國會(huì)決議王位繼承人須為新教徒。英倫三島（英格蘭、蘇格蘭及愛爾蘭）統(tǒng)一于1707年。當(dāng)時(shí)的國王是 Anne 女王（James II 次女，信奉新教。在位1702-1714）。她的獨(dú)子在10歲時(shí)夭折。她逝世后由 James I 外曾孫，新教徒 Hanover 選侯 George I（在位1714-1727）繼承英國王位。他是一位只會(huì)講德語的英王，為英國 Hanover 王朝之始。他的王位由長子 George II（在位 1727-2760）繼任。再來是 George II 的長孫 George III（在位1760- 1820）繼位。George III 有眾多兒女。他的王位由長子 George IV（在位1820-1830）繼承。他的獨(dú)女早逝，王位便由 George III 三子 William IV（在位1830-1837）繼位。這些英國 Hanover 王朝諸王兼而是 Hanover 選侯或王（Hanover 在1814年才成為王國）。William IV 的獨(dú)女早逝，英國王位便落在 George III 的第四子 Edward 的女兒 Vcctoria（在位 1837-1901）身上。但是 Hanover 王國不承認(rèn)女繼承人，故由 George III 第五子繼位，為George V。從此英王不再兼 Hanover 王了。又，Victoria 為英國 Hanover 王朝最后一人。
[注4] 英譯為“George V，The King of Hanover，to the Prince of Mathematicians”。按“Prince”有小邦國之“王”的意思，當(dāng)時(shí)的德國聯(lián)邦由三十九個(gè)邦國所組成。
[注5] 德語國家人名中有“von”與法國人名中有“de”一般來說都是貴族姓氏。這些字皆有“from”或“of”的意思，接著的姓往往是這個(gè)人的屬地名稱。
參考資料
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