來(lái)源：數(shù)學(xué)傳播
楊振寧是當(dāng)代的大物理學(xué)家，又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)者，他的兩項(xiàng)巨大成就： 楊–密爾斯規(guī)范場(chǎng)和楊–巴克斯特方程，成為80年代以來(lái)一系列數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)，其影響遍及微分幾何、偏微分方程、低維拓?fù)洹⑥p結(jié)理論、量子群等重大數(shù)學(xué)學(xué)科。
這里記錄的有關(guān)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系，來(lái)自筆者在1995年末在紐約州立大學(xué)（石溪） 訪問(wèn)楊振寧先生時(shí)的一些談話材料，不是系統(tǒng)的談話。本文的中文版于1992年4月在臺(tái)灣《數(shù)學(xué)傳播》發(fā)表，內(nèi)容不完全相同的英文版則刊于Mathematical IntelligencerVol.15， NO.4， 1993。后者的中譯文已被收入楊振寧的新著《讀書教學(xué)再十年》（臺(tái)灣時(shí)報(bào)出版公司，1995）。
有關(guān)數(shù)學(xué)的兩則“笑話”
1980年代初，楊振寧曾在韓國(guó)漢城作物理學(xué)演講時(shí)說(shuō)“有那么兩種數(shù)學(xué)書： 第一種你看了第一頁(yè)就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了”。當(dāng)時(shí)引得物理學(xué)家們轟堂大笑。
此話事出有因。
1969年，楊振寧察覺物理上的規(guī)范場(chǎng)理論和數(shù)學(xué)上的纖維叢理論可能有關(guān)系，就把著名拓?fù)鋵W(xué)家Steenrod著的“The Topology of Fibre Bundles纖維叢的拓?fù)洹币粫脕?lái)讀，結(jié)果是一無(wú)所獲。原因是該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹，生動(dòng)活潑的實(shí)際背景淹沒在形式邏輯的海洋之中，使人摸不著頭腦。
上述漢城演講中那句話本來(lái)是即興所開的玩笑，不能當(dāng)真的。豈料不久之后被Mathematical Intelligencer雜志捅了出來(lái)，公之與眾。在數(shù)學(xué)界當(dāng)然會(huì)有人表示反對(duì)，認(rèn)為數(shù)學(xué)書本來(lái)就應(yīng)該是那樣的。不過(guò)，楊振寧先生說(shuō)“我相信會(huì)有許多數(shù)學(xué)家支持我，因?yàn)閿?shù)學(xué)畢竟要讓更多的人來(lái)欣賞，才會(huì)產(chǎn)生更大的效果”。
我想，楊振寧是當(dāng)代物理學(xué)家中特別偏愛數(shù)學(xué)，而且大量運(yùn)用數(shù)學(xué)的少數(shù)物理學(xué)者之一。如果連他也對(duì)某些數(shù)學(xué)著作的表達(dá)方式嘖有煩言，遑論其它的物理學(xué)家？ 更不要說(shuō)生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、一般的社會(huì)科學(xué)家和讀者了。
另一則笑話，可在波蘭裔美國(guó)數(shù)學(xué)名家S.M.Ulam 的自傳《一個(gè)數(shù)學(xué)家的遭遇》（Advantures of a mathematician） ”中讀到。該書294頁(yè)上寫道： “楊振寧，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，講了一個(gè)有關(guān)現(xiàn)時(shí)數(shù)學(xué)家和物理家間不同思考方式的故事： 一天晚上，一幫人來(lái)到一個(gè)小鎮(zhèn)。他們有許多衣服要洗，于是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標(biāo)記：‘這里是洗衣房’。一個(gè)人高聲問(wèn)道： ‘我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎？’窗內(nèi)的老板回答說(shuō)：‘不，我們不洗衣服。’來(lái)人又問(wèn)道：‘你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎’。老板又回答說(shuō)： ‘我們是做洗衣房標(biāo)記的，不洗衣服’。這很有點(diǎn)像數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家們只做普遍適合的標(biāo)記，而物理學(xué)家卻創(chuàng)造了大量的數(shù)學(xué)?！?/p>
楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數(shù)學(xué)圈外的人們對(duì)數(shù)學(xué)家們“只做標(biāo)記，不洗衣服“的做法是不贊成的。數(shù)學(xué)家Ulam 在引了楊振寧的“笑話”之后，問(wèn)道，信息論是工程師C。 Shannon創(chuàng)立的，而純粹數(shù)學(xué)家為什么不早就建立起來(lái)？ 他感嘆地說(shuō)：“現(xiàn)今的數(shù)學(xué)和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)完全不同，甚至百分之九十九的數(shù)學(xué)家不懂物理。然而有許許多多的物理概念，要求數(shù)學(xué)的靈感，新的數(shù)學(xué)公式，新的數(shù)學(xué)觀念?！?/p>
理論物理的“猜”和數(shù)學(xué)的“證”
1995年12月，楊振寧先生接到復(fù)旦大學(xué)校長(zhǎng)楊福家的來(lái)信，請(qǐng)楊振寧在1996年5月到復(fù)旦為“楊武之講座”做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親，又是中國(guó)數(shù)學(xué)前輩，早年任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任多年，五十年代后則在復(fù)旦大學(xué)任教授，所以楊振寧很愉快地接受了邀請(qǐng)。但是他不能像楊福家校長(zhǎng)要求的那樣做20次演講，只準(zhǔn)備講三次。順著這一話題，楊振寧先生又談了理論物理和數(shù)學(xué)的一些關(guān)系。
楊先生說(shuō)：“理論物理的工作是‘猜’，而數(shù)學(xué)講究的是‘證’。理論物理的研究工作是提出‘猜想’，設(shè)想物質(zhì)世界是怎樣的結(jié)構(gòu)，只要言之成理，不管是否符合現(xiàn)實(shí)，都可以發(fā)表。一旦‘猜想’被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，這一猜想就變成真理。如果被實(shí)驗(yàn)所否定，發(fā)表的論文便一文不值（當(dāng)然失敗是成功之母，那是另一層意思了）。數(shù)學(xué)就不同，發(fā)表的數(shù)學(xué)論文只要沒有錯(cuò)誤，總是有價(jià)值的。因?yàn)槟遣皇遣鲁鰜?lái)的，而有邏輯的證明。邏輯證明了的結(jié)果，總有一定的客觀真理性。”
“正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)的結(jié)果可以講很長(zhǎng)的時(shí)間，它的結(jié)果以及得出這些結(jié)果的過(guò)程都是很重要的。高斯給出代數(shù)學(xué)基本定理的五種證明，每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來(lái)講卡拉比（Calabi） 猜想的證明，他一定會(huì)有20講。但是教我講‘宇稱不守恒’是怎么想出來(lái)的，我講不了多少話。因?yàn)楫?dāng)時(shí)我們的認(rèn)識(shí)就是朝否定宇稱守恒的方向想，‘猜測(cè)’不守恒是對(duì)的。根據(jù)有一些，但不能肯定。究竟對(duì)不對(duì)，要靠實(shí)驗(yàn)。”
楊先生最后說(shuō)：“理論物理的工作好多是做無(wú)用功，在一個(gè)不正確的假定下猜來(lái)猜去，文章一大堆，結(jié)果全是錯(cuò)的。不像數(shù)學(xué)，除了個(gè)別錯(cuò)的以外，大部分都是對(duì)的，可以成立”。
楊先生的這番話，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章，發(fā)表于Bulletin of AMS，1993年8月號(hào)，曾引起相當(dāng)?shù)霓Z動(dòng)。該文的主題是問(wèn)“猜測(cè)數(shù)學(xué)是否允許存在？ ”。其中提到，物理學(xué)已經(jīng)有了分工，理論物理做“猜測(cè)”，實(shí)驗(yàn)物理做“證明”。但是數(shù)學(xué)沒有這種分工。一個(gè)數(shù)學(xué)家，既要提出猜想，又要同時(shí)完成證明。除了希爾伯特那樣的大人物可以提出23個(gè)問(wèn)題，其猜想可以成為一篇大文章之外，一般數(shù)學(xué)家至多在文章末尾提點(diǎn)猜想以增加讀者的興趣，而以純粹的數(shù)學(xué)猜想為主體的文章是無(wú)處發(fā)表的。因此，兩位作者建議允許“理論數(shù)學(xué)”，即“猜測(cè)數(shù)學(xué)”的存在。
這樣一來(lái)，現(xiàn)在有兩種相互對(duì)立的看法。一方面，物理學(xué)界中像楊振寧先生那樣，覺得理論物理的研究太自由，胡亂猜測(cè)皆成文章，認(rèn)為數(shù)學(xué)還比較好的。另一方面，數(shù)學(xué)界如Quine和Jaffe那樣，覺得目前數(shù)學(xué)研究要求每個(gè)結(jié)論都必需證明的要求，太束縛人的思想。應(yīng)該允許人們大膽地猜測(cè)，允許有根據(jù)而未經(jīng)完全確認(rèn)的數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)表出來(lái)。二者孰是孰非，看來(lái)需要一個(gè)平衡。許多問(wèn)題涉及哲學(xué)和社會(huì)學(xué)層面，就不是三言兩語(yǔ)可以解決的了。
復(fù)數(shù)、四元數(shù)的物理意義
虛數(shù)i=p?1 的出現(xiàn)可溯源于15世紀(jì)時(shí)求解三次方程，但到18世紀(jì)的歐拉時(shí)代，仍稱之為“想象的數(shù)”（imaginary）。數(shù)學(xué)界正式接受它要到19世紀(jì)，經(jīng)Cauchy、Gauss、Riemann、Weierstrass 的努力，以漂亮的復(fù)變量函數(shù)論贏得歷史地位。至于在物理學(xué)領(lǐng)域，一直認(rèn)為能夠測(cè)量的物理量只是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)是沒有現(xiàn)實(shí)意義的。盡管在19世紀(jì)，電工學(xué)中大量使用復(fù)數(shù)，有復(fù)數(shù)的動(dòng)勢(shì)，復(fù)值的電流，但那只是為了計(jì)算的方便。沒有復(fù)數(shù)，也能算出來(lái)，只不過(guò)麻煩一些而已。計(jì)算的最后結(jié)果也總是實(shí)數(shù)，并沒有承認(rèn)在現(xiàn)實(shí)中有真有“復(fù)數(shù)”形態(tài)的電流。鑒于此，楊振寧先生說(shuō)，直到本世紀(jì)初，情況仍沒有多少改變。一個(gè)例證是創(chuàng)立量子電動(dòng)力學(xué)的薛定諤（Schrodinger）。1926年初，據(jù)考證，他似乎已經(jīng)得到現(xiàn)在我們熟悉的方程
其中含有虛數(shù)單位i，是復(fù)函數(shù)，但最后總是取實(shí)部。薛定諤因其中含虛數(shù)而對(duì)（1） 不滿意，力圖找出不含復(fù)數(shù)的基本方程。于是他將上式兩面求導(dǎo)后化簡(jiǎn)，得到了一個(gè)沒有虛數(shù)的復(fù)雜的高階微分方程
1926年的6月6日，薛定諤在給洛蘭茲的一封長(zhǎng)信中，認(rèn)為這一不含復(fù)數(shù)的方程（2）“可能是一個(gè)普遍的波動(dòng)方程?！边@時(shí)，薛定諤正在為消除復(fù)數(shù)而努力。但是，到了同年的6月23日，薛定諤領(lǐng)悟到這是不行的。在論文[5]中，他第一次提出： “是時(shí)空的復(fù)函數(shù)，并滿足復(fù)時(shí)變方程（1）?！辈眩?） 稱謂真正的波動(dòng)方程。其內(nèi)在原因是，描寫量子行為的波函數(shù)，不僅有振幅大小，還有相位，二者相互聯(lián)系構(gòu)成整體，所以量子力學(xué)方程非用復(fù)數(shù)不可。另一個(gè)例子是H.Weyl在1918年發(fā)展的規(guī)范理論，被拒絕接受，也是因?yàn)闆]有考慮相因子，只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)處理問(wèn)題。后來(lái)由Fock和London用加入虛數(shù)i 的量子力學(xué)加以修改，Weyl 的理論才又重新復(fù)活。數(shù)學(xué)傳播21卷2期牛頓力學(xué)中的量全都是實(shí)數(shù)量，但到量子力學(xué)，就必須使用復(fù)數(shù)量。楊振寧和米爾斯在1954年提出非交換規(guī)范場(chǎng)論，正是注意到了這一點(diǎn)，才會(huì)把Weyl規(guī)范理論中的相因子推廣到李群中的元素，完成了一項(xiàng)歷史性的變革。1959年，Aharanov和Bohm設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，表明向量勢(shì)和數(shù)量勢(shì)一樣，在量子力學(xué)中都是可以測(cè)量的，打破了“可測(cè)的物理量必須是實(shí)數(shù)”的框框。這一實(shí)驗(yàn)相當(dāng)困難，最后由日本的Tanomura及其同事于1982和1986先后完成。這樣，物理學(xué)中的可測(cè)量終于擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)。
令我驚異的是，楊振寧教授預(yù)言，下一個(gè)目標(biāo)將是四元數(shù)進(jìn)入物理學(xué)。
自從1843年愛爾蘭物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家Hamiton 發(fā)現(xiàn)四元數(shù)之后，他本人曾花了后半輩子試圖把四元數(shù)系統(tǒng)，像復(fù)數(shù)系統(tǒng)那樣地廣泛運(yùn)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)，開創(chuàng)四元數(shù)的世紀(jì)。但結(jié)果是令人失望的。人們?cè)u(píng)論這是“愛爾蘭的悲劇”。
時(shí)至今日，一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生可能根本不知道有四元數(shù)這回事，最多也不過(guò)是非交換代數(shù)的一個(gè)例子而已。我還記起，1986年春，錢學(xué)森在致中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)王元的一封信中，曾建議多學(xué)計(jì)算器知識(shí)，而把研究“四元數(shù)解析”（復(fù)變函數(shù)論的推廣） 的工作貶為“像上一個(gè)世紀(jì)”東西?？傊?，我和許多數(shù)學(xué)工作者一樣，認(rèn)為四元數(shù)發(fā)現(xiàn)，只不過(guò)是“抽象的數(shù)學(xué)產(chǎn)物”，不會(huì)有什么大用處的。
楊振寧向我解釋了他的想法： 物理學(xué)離不開對(duì)稱。除了幾何對(duì)稱之外，還有代數(shù)對(duì)稱。試看四元數(shù)a+bi+cj+dk，其基本單位滿足i^2 = j^2 = k^2 = ?1，而ij = k， jk =i ， ki = j ； ij = ?ji ， jk = ?kj ， ki =?ik 。像這種對(duì)稱的性質(zhì)在物理學(xué)中經(jīng)?？梢耘龅?。問(wèn)題是這種四元數(shù)的對(duì)稱還沒有真正用于物理現(xiàn)象，而且物理現(xiàn)象中的一些對(duì)稱也還沒有找到基本的數(shù)學(xué)源由。
最近，丘成桐等人的文章說(shuō)：“我在1977年發(fā)表的一篇文章—Condition of Self-duality for SU（2） gauge fields on Euclidean four-dimensional space，曾推動(dòng)代數(shù)幾何中穩(wěn)定叢的解析處理的理論。我還沒有問(wèn)過(guò)數(shù)學(xué)家，不知道這是怎么一回事。許多工作，包括運(yùn)用四元數(shù)表示的物理理論，也許會(huì)在這種交流中逐步浮現(xiàn)的”。
楊振寧先生又說(shuō)，至于將復(fù)變函數(shù)論形式地推廣到四元數(shù)解析理論，由于四元數(shù)乘積的非交換性，導(dǎo)數(shù)無(wú)法唯一確定，所以不會(huì)有什么好結(jié)果出來(lái)。現(xiàn)在也有物理學(xué)家寫成著作，用四元數(shù)來(lái)描寫現(xiàn)有的物理定律，就沒有引起什么注意。將來(lái)要用四元數(shù)表達(dá)的物理定律，一定會(huì)是一組非線性微分方程組，其解的對(duì)稱性必需用四元數(shù)來(lái)表示。所以，楊先生相信：“愛爾蘭的悲劇是會(huì)變成喜劇的”。
“雙葉”比喻
數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系，應(yīng)該是十分密切的。在數(shù)學(xué)系以外的課程中，物理系開設(shè)的數(shù)學(xué)課最多最深?！拔锢韺W(xué)公理化，數(shù)學(xué)化”，曾是一個(gè)時(shí)期許多大學(xué)問(wèn)家追逐的目標(biāo)。
不過(guò)，擅長(zhǎng)使用數(shù)學(xué)于物理的楊振寧教授卻認(rèn)二者間的差別很大。他有一個(gè)生動(dòng)的“雙葉”比喻，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間的關(guān)系（如下圖）。他認(rèn)為數(shù)學(xué)和物理學(xué)像一對(duì)“對(duì)生”的樹葉，他們只在基部有很小的公共部分，多數(shù)部分則是相互分離的。
楊振寧先生解釋說(shuō)： “它們有各自不同的目標(biāo)和價(jià)值判斷準(zhǔn)則，也有不同的傳統(tǒng)。在它們的基礎(chǔ)概念部分，令人吃驚地分享著若干共同的概念，即使如此，每個(gè)學(xué)科仍舊按著自身的脈絡(luò)在發(fā)展?！?/p>
